二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上的最值xyonmy=ax2+bx+c求下列函数的最大值和最小值。1.2.3.4.热身检测知识要点二次函数在闭区间[m，n]

上的最值问题探讨一个结论：二次函数的最值只会在顶点或区间端点处取得顶点PK端点左端点PK

右端点①②二个难点：

设f(x)=ax2+bx+c(a>0),则其在闭区间[m，n]上的最大、最小值有如下分布情况：

b2注:对于开口向下(a<0)的情况，讨论类似

mab<-22nmabm+≤-≤2nm2n≤a-<+abn2-<

_______)(min=xf_______)(min=xf_______)(min=xf_______)(min=xf_______)(max=xf_______)(max=xf_______)(max=xf_______)(max=xf

学习目标：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数的最值重点：二次函数在闭区间上最值（1）轴定区间定（2）轴定区间变（3）轴变区间定难点：

数形结合、分类讨论思想-21oxyx=232例1.求函数y=–

x2+4x–2在区间[0,3]上的最值.一、轴定区间定

练习、已知2x2≤3x,求函数f(x)=x2+x+1的最值.例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变xy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；xy–2–1102123xy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[],求函数f(x)的最值；xy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[

],求

函数f(x)的最值；

（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；

xy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[

],求

函数f(x)的最值；

（4）若x∈[]，

求函数f(x)的最值；

（5）若x∈[t，t+1]时，求函数f(x)的最值.tt+1xy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[

],求

函数f(x)的最值；

（4）若x∈[]，

求函数f(x)的最值；

（5）若x∈[t，t+1]时，求函数f(x)的最值.t+1txy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[

],求

函数f(x)的最值；

（4）若x∈[]，

求函数f(x)的最值；

（5）若x∈[t，t+1]时，求函数f(x)的最值.tt+1xy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[

],求

函数f(x)的最值；

（4）若x∈[]，

求函数f(x)的最值；

（5）若x∈[t，t+1]时，求函数f(x)的最值.tt+1xy–2–1102123例2、已知函数f(x)=(x–1)2+1.

（1）若x∈[–2，–1],求函数f(x)的最值；二、轴定区间变（2）若x∈[2，3]，求函数f(x)的最值；

（3）若x∈[

],求

函数f(x)的最值；

（4）若x∈[]，

求函数f(x)的最值；

（5）若x∈[t，t+1]时，求函数f(x)的最值.tt+1评注：例2属于“轴定区间变”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。10xy234–1tt+1练习、已知函数f(x)=–

x2–4x–3，当x∈[t，t+1]（t∈

R）时，求f(x)的最值.解：∵函数的对称轴为直线x=–a⑴当–a≤–1,即a≥1时,f(x)的最小值为f(–1)=2

–2a.例3求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[–1，2]上的最小值.

yx2-10三、轴变区间定x=–a例3求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[–1，2]上的最小值.

yx2-10三、轴变区间定x=–a(2)当–1＜–a＜2,即–2＜a＜1时，f(x)的最小值为f(–

a)=1

–

a2.

例3求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[–1，2]上的最小值.

yx20-1三、轴变区间定x=–a(3)当–

a≥2

，即a≤–2时,f(x)的最小值为f(2)=5+4a.

20yxx=-a-1yx2-1x=-a0yx2-10xx=-a例3求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[–1，2]上的最小值.

解：∵函数的对称轴为直线x=–a⑴当–a≤–1,即a≥1时,f(x)的最小值为f(–1)=2

–2a.(2)当–1＜–a＜2,即–2＜a＜1时，

f(x)的最小值为f(–a)=1–a2.(3)当–a≥2，即a≤–2时,f(x)的最小值为f(2)=5+4a.综上所述，可得练习、求函数f(x)=–

x(x

–a)在x∈[–

1，1]上的最大值.求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系.

（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、