函数的概念及其表示 省赛获奖

课前双基巩固课堂考点探究教师备用例题第一单元

集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用第3讲

函数的概念及其表示考试说明1.了解函数、映射的概念.2.了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图像法和列表法).3.了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.

函数映射两集合A,B设A,B是两个

设A,B是两个

对应关系f:A→B按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的

一个数x,在集合B中都有

的数f(x)与之对应

按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的

一个元素x,在集合B中都有

的元素y与之对应

名称称

为从集合A到集合B的一个函数

称对应

为从集合A到集合B的一个映射

记法y=f(x),x∈A对应f:A→B知识聚焦1.函数与映射的概念非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定

f:A→B

f:A→B

2.函数的三要素函数由

、

和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的

.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的

.

3.函数的表示法函数的常用表示方法:

、

、

.

4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的

,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

定义域

值域

定义域

值域解析法

图像法

列表法对应关系

2.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.

对点演练题组一

常识题

[解析]①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.④

[解析]因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.4

5

[解析]要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,故其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].(-∞,-3)∪(-3,8]

4.[教材改编]

已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有

种.

[解析]只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.7

题组二

常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.

{x|x≥2}

[解析]∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥2应分段求解.当x≤0时,f(x)≥2即为x2+1≥2,解得x≤-1或x≥1,∴x≤-1.当x>0时,f(x)≥2即为-x+3≥2,即x≤1,∴0<x≤1.综上所述,x≤-1或0<x≤1,即x∈(-∞,-1]∪(0,1].(-∞,-1]∪(0,1]

x2-1(x≥0)

8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有

个.

[解析]设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能情况为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.9

[思路点拨]根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.

C

[思路点拨]根据对数式的真数大于0、二次根式的被开方数非负及分母不为0,列出x满足的不等式组,最后求得结果,注意定义域必须写成集合或者区间的形式.

[总结反思](1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.

D

[思路点拨]由f(x+1)的定义域为(-2,0)得f(x)的定义域是(-1,1),再由-1<2x-1<1求得函数f(2x-1)的定义域.[解析]∵函数f(x+1)的定义域为(-2,0),∴-2<x<0,∴-1<x+1<1,则f(x)的定义域为(-1,1),由-1<2x-1<1,得0<x<1,∴f(2x-1)的定义域为(0,1).故选C.C[总结反思](1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x的取值集合;(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.(3)若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.

C(2)已知函数y=f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),则函数g(x)的定义域为

.

[思路点拨]利用换元法求解析式,或用配凑法求解.

x2-2x-3(x≥1)[思路点拨]设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可.(2)已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)=

.

[解析]∵f(x)为二次函数,∴设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=3,∴c=3.由f(x+2)-f(x)=4x+2,得a(x+2)2+b(x+2)+3-ax2-bx-3=4x+2,解得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+3.x2-x+3

C(2)已知f(x)满足3f(x)+2f(-x)=4x,则f(x)=

.

[解析]

3f(x)+2f(-x)=4x,①用-x替换x,得3f(-x)+2f(x)=-4x,②①×3-②×2,得5f(x)=20x,∴f(x)=4x.4x(3)若一次函数f(x)满足f[f(x)]=x+4,则f(-1)=

.

1

[思路点拨]根据x的取值,选择相应区间上的解析式代入即可.

D[总结反思]求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.

[思路点拨]

对实数a按0<a<1和a≥1进行分类讨论,根据自变量的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.

D

[思路点拨]

根据f(1)=max{1,b}>1得到b的取值范围,结合图像分析,可得f(x)=2有四个不同的实根时b的取值范围.[解析]由题意得f(1)=max{1,b}>1,当b≤1时,f(1)=1,不合题意;当b>1时,f(1)=b>1,符合题意.故b的取值范围是(1,+∞).若f(x)=2有四个不同的实数根,则函数y=|x|的图像与函数y=-(x-1)2+b的图像必有两个交点,作出函数f(x)的图像,(1,+∞)(2,3)

(1,+∞)(2,3)[总结反思](1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.

C

C

{x|-1≤x≤1}[总结反思]涉及与分