第1章 数字逻辑概论

第一章数字逻辑概论1.1数字电路与数字信号

1.2数制

1.3二进制数的算术运算

1.4二进制代码

1.5二值逻辑变量与根本逻辑运算

1.6逻辑函数及其表示方法1本小节要点什么是数字信号？什么是数字电路？§1.1数字电路与数字信号2一、模拟信号和数字信号

1.模拟信号：数值连续、时间连续

2.数字信号：幅值离散、时间离散

ut数字信号是一种二值信号，用两个电平〔高电平和低电平〕分别来表示两个逻辑值〔逻辑1和逻辑0〕。Dt001100010101013

有两种逻辑体制：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0

一般采用正逻辑，如：3、正逻辑与负逻辑44、数值“1〞和“0〞的波形表示〔2〕脉冲型〔归零〕〔1〕电位型〔非归零〕1〕数值110100052〕脉冲信号的局部参数A0.9A0.5A0.1AtwtrtfT实际的矩形波脉冲幅度

A脉冲上升沿

tr

脉冲周期T脉冲下降沿tf

脉冲宽度tw

占空比q6以下图所示为三个周期相同〔T=20ms〕，但幅度、脉冲宽度及占空比各不相同的数字信号。7二、数字电路工作在数字信号下的电路统称为数字电路数字电路的主要研究对象:电路的输入和输出之间的逻辑关系

主要分析工具:逻辑代数

表达电路的功能的方法：真值表，逻辑表达式及波形图等

8数字信号传输9一、十进制〔Decimal〕§1.2数制〔计数体制〕构成：十个数码〔0～9〕；逢十进一，借一当十。其中：101----位权；1----数位的序号；10----基数10其中：i为正整数，ki----0～9中任一数码。一般情况下〔n位整数，m位小数〕；推广到R进制〔n位整数，m位小数〕，叫做R进制计数法，R称为计数制的基数，为位权，ki为系数。11二、二进制〔Binary〕构成：二个数码〔0、1〕；逢二进一，借一当二。其中：ki

----0、1中任一数码，2为基数，是位权12三、八进制〔Octal〕构成：八个数码〔0～7〕；逢八进一，借一当八。其中：ki----0～7中任一数码。基数为8。13构成：十六个数码〔0～9，A～F〕；逢十六进一，借一当十六。其中：ai----0～F中任一数码。四、十六进制〔Hexadecimal〕14五、数制转换：

1.R进制转换成十进制方法：按位权展开相加解：(11.01)B=1×21+1×20+0×2-1+1×2-2例1：(11.01)B=(?)D=(3.25)D152、十进制转换为二进制方法：基数乘除法〔整数局部用除2取余法；小数局部用乘2取整法〕例2：(57.6875)D=(?)B16解：5722821427232120余数100111有效位k0(最低位)k5(最高位)k1k2k3k4170.6875整数×21.375010.750001×21.5000×21.00001×2有效位k-1(最高位)k-2k-3k-4(最低位)所以：(57.6875)D=(111001.1011)B18小数的精度及转换位数确实定①n位R进制小数的精度R-n，即最后一位小数的位权例1：(0.12)10的精度为10-2例2：(0.101)2的精度为2-3②转换位数确实定2-n≤0.1％，解：设二进制数小数点后有n位小数，那么其精度为2-n，由题意知：例3：(0.39)10=(?)2，要求精度到达0.1％。解得n≥10。所以(0.39)10=(0.0110001111)2。193.二进制、八进制、十六进制间转换特点：三种进制的基数都是2的正整数幂。方法：直接转换〔3位/4位组合替换。位数缺乏时，整数局部高位扩展，小数局部低位扩展〕。例：(101011.1)2=(?)8=(?)16解：(101011.1)2=(101011.100)2=(53.4)8

(101011.1)2=(00101011.1000)2=(2B.8)16

20§1-3二进制数的算术运算二进制运算原码补码反码21加法运算法那么：两个相加的二进制数A、B按权对位，然后将同位数相加。当两数之和大于基数2时，那么向相邻高位进位。例：22减法运算法那么：两个相减的二进制数A、B按权对位，然后将相同位相减。当减数大于被减数时，那么向相邻高位借位，如相邻高位借不出，那么向更高的相邻位借。例：23乘法运算法那么：即从乘数的最低位开始，逐位乘被乘数各位，最后将各位乘数与被乘数之积相加。例：24除法运算法那么：将被除数连续减除数，够减商1，不够减那么商0例：25原码[=符号位+绝对值]符号位：最高位，正数时为0，负数时为1；绝对值：最高位后各位。如：的原码注意：0有两个原码26原码〔续〕优点：简单、直观，而且用原码作乘法运算时比较方便缺点：只是一种表示方法，不具有运算意义为了克服上述缺点，目前在计算机中普遍使用补码进行加减运算。27补码一个实际的例子：假定你在早晨6点钟醒来发现自己的手表停在11点上，那么需要把表针拨回到6点。这时可以有两种不同的拨法，回拨5格，即11-5=6；另一种前拨7格，虽然11+7=18，但由于表盘的刻度是12进制，超过12以后进位数自动消失，剩下的只有余数，即18-12=6。可见，后一种方法也拨回了6点钟。2829补码〔续〕结论：在舍掉进位的情况下，11-5的运算可以用11+7的运算代替，这样也就把减法运算转换成了加法运算。我们把进位计数制的基数12称为模数〔或模〕，把7称为-5对模12的补数〔或补码〕。不难看出，5和7之和应等于模12。由此得到一个重要的结论：在自动舍去进位的情况下，两数相减可以用它们的补码相加来实现。这个结论在二进制中同样成立30补码〔续〕二进制中补码的表示：

正数：同原码负数：注意：[X]补=（n为二进制数的位数）31原码、补码和反码〔续〕综上得到，重要法那么：假设数为负，那么符号位〔最高位〕不动，其余各位求反，得反码；再在最低位加1，得补码。32例：设X=+3，Y=-2。分别用原码、补码和反码实现X+Y。33§1.4二进制代码代码：以数字形式出现，已经没有数量的含义，而是用来表示不同事物的特征。这些数码称为代码。码制：遵循一定的规那么编制代码，这些规那么称为。34n位码元2n个对象一、自然二进制码

二、二—十进制〔BCD〕码〔BinaryCodedDecimalCodes〕1.引入BCD码的原因：习惯用十进制，而数字系统只处理二进制2.分类(1)有权码：有固定位权8421BCD、5421BCD、2421BCD(2)无权码：无固定位权余3BCD、余3循环BCD、格雷BCD358421码00000001001000111001余3码0011

0100010101101100循环码000000010011余3循环码00100110011101011010001011011010十进制数0123912363.多位十进制数的8421BCD码表示代码间应有间隔例：(380)10=(?)8421BCD解：(380)10=(001110000000)8421BCD4.数制与BCD码间的转换例1：(011000100000)8421BCD=(620)10例2：(00010010)8421BCD=(?)2解：(00010010)8421BCD=(12)10=(1100)2375.8421BCD的运算例1：(0010)8421BCD+(0011)8421BCD=(?)8421BCD0010﹢00110101所以(0010)8421BCD+(0011)8421BCD=(0101)8421BCD38例2：(0001)8421BCD+(1001)8421BCD=(?)8421BCD0001﹢10011010﹢0110

00010000(0001)8421BCD+(1001)8421BCD=(00010000)8421BCD所以非法码加6修正39结论：两个8421BCD码相加，假设相加结果中出现了8421BCD码的非法码或在相加过程中，在BCD数位上出现了向高位的进位，那么应对非法码及产生进位的代码进行“加6(即二进制数0110)修正〞。40编码的可靠性如：01111000如果用触发器表示计数器的状态，那么4个触发器要同时发生状态变化。由于触发器电气、工艺方面的差异，其翻转的速度不完全一致。可能出现瞬间误码，即011100001000411〕格雷码〔Gray〕格雷码是这样一种编码：任意两个相邻的数，它们的格雷码表示形式中仅有一位不同。因此按格雷码接成计数器形式，每次状态转换过程只有一个计数器翻转。防止发生竞争—冒险现象。介绍一种典型的格雷码，以及其产生的方法。可靠性编码代码本身具有一种特性和能力，在代码形成过程中不易出错，或者说代码出错容易发现。42镜像法4位格雷码〔表示十进制数0~15〕注意：相邻两组代码，彼此只有一个元素不相同43§1.5二值逻辑变量与根本逻辑运算逻辑代数=布尔代数=开关代数解决逻辑问题的理论方法，与布尔、香农有关逻辑代数：有一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或〞、“与〞、“非〞三种根本运算构成。满足以下公理：交换律A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A+(B·C)=(A+B)·(A+C)A·(B+C)=A·B+A·C0-1律A+0=AA+1=1A·1=AA·0=0互补律44设：开关断开、灯不亮用逻辑“0〞表示，开关闭合、灯亮用逻辑“1〞表示。1.“与〞逻辑关系B灯。220V。A“与〞逻辑关系是指当决定某事件的条件全部具备时，该事件才发生。灭AB灯断开断开闭合断开断开闭合闭合闭合灭灭亮真值表45F=A•B逻辑式逻辑乘法逻辑与逻辑符号实现与逻辑的电路称为与门。462.“或〞逻辑关系“或〞逻辑关系是指当决定某事件的条件之一具备时，该事件就发生。灭AB灯断开断开闭合断开断开闭合闭合闭合亮亮亮。。+U–ABL47F=A+B逻辑式逻辑加法逻辑或逻辑符号：>1ABY483.“非〞逻辑关系“非〞逻辑关系是指否认或相反的意思。某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否认。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。亮A灯闭合断开灭。AL+U–R。010输入输出AY149逻辑式逻辑非逻辑反504、其他常用逻辑运算2〕或非——由或运算和非运算组合而成。1〕与非——由与运算和非运算组合而成。513〕异或异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或的逻辑表达式为：52§1.6

逻辑函数及其表示方法定义：用有限个与、或、非逻辑运算符号按某种逻辑关系将逻辑变量A，B，C，…连接起来，所得到的表达式Y＝F〔A，B，C,...〕称为逻辑函数。四种表示方法逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、卡诺图531、真值表将输入变量所有取值下对应的输出值找出来，列成表格。+_ABYABY000110110111Y=A+B逻辑函数式54请注意n个输入变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。55由真值表可以转换为函数表达式。方法：将Y＝1的项相加。如，由上述的真值表可写出逻辑表达式：2、逻辑函数式：把输入与输出之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式〔即逻辑表达式〕反之，由函数表达式也可以转换成真值表。方法：用变量的所有取值组合列出Y的值；例2、列出以下函数的真值表：56逻辑函数式：Y=(A+B)·C+－ABCY等效电路图3、逻辑图：将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来。由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。方法：用逻辑符号画出对应的运算≥1&ABCY57由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。方法：从输入到输出依次列出逻辑符号所对应的逻辑运算的输出；例4写出如下图逻辑图的函数表达式。解：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式：584、卡诺图：由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成的平面图。0100011110