2022-2023学年山东省青岛市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市高二下学期期中数学试题一、单选题1．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为（

）A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移【答案】C【分析】根据导数的物理意义判断．【详解】解：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．故选：C.2．的展开式的中间一项的二项式系数为（

）A．15 B．20 C． D．【答案】B【分析】根据给定的二项式，确定展开式的项数即可求出中间一项的二项式系数作答.【详解】的展开式共7项，中间一项是第4项，其二项式系数是.故选：B3．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】C【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.【详解】解析由已知可得曲线关于直线对称，，所以，故．故选：C4．已知一组样本点，其中，根据最小二乘法求得的回归直线方程是，则下列说法正确的是（）A．若所有样本点都在回归直线方程上，则变量间的相关系数为1B．至少有一个样本点落在回归直线方程上C．对所有的（），预测值一定与实际值有误差D．若的斜率，则变量与正相关【答案】D【分析】选项A，相关系数，故A错误；选项B，样本点可能都不在经验回归直线上，故B错误；选项C，可以存在；对应的预测值与实际值没有误差，故C错误；选项D，，样本点的分布从左至右上升，变量与正相关，故D正确.【详解】选项A，若所有样本点都在直线上，则变量间的相关系数的绝对值为1，相关系数，故A错误；选项B，经验回归直线必过样本点的中心，但样本点可能都不在经验回归直线上，故B错误；选项C，样本点可能在直线上，即可以存在；对应的预测值与实际值没有误差，故C错误；选项D，相关系数与符号相同，若的斜率，则，样本点的分布从左至右上升，变量与正相关，故D正确.故选：D5．曲线在点处的切线截圆所得弦长为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】函数在切点处的导数等于切点处切线的斜率，利用点斜式得出切线方程，而圆心到直线的距离为0，即直线过圆心，那么弦即为直径，故弦长为4.【详解】解：∵曲线，∴，∴切线方程的斜率为：，又因为曲线过点（1，2）∴切线方程为：，即，圆心到直线的距离，∴切线截圆所得弦长为4．故选：A【点睛】导数的几何意义要理解，利用点斜式求切线方程，都要熟练掌握，直线和圆相交以后，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，用勾股定理来列方程.6．6名研究人员在3个无菌研究舱同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（

）A．360种 B．180种 C．720种 D．450种【答案】D【分析】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案，共有（种）不同的安排方案.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.所以共有（种）不同的安排方案.故选：D.7．已知函数存在零点，函数存在零点，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定函数单调递增，，得到，令，求导得到函数单调递增，计算值域得到答案.【详解】函数在上单调递增，，故函数的零点，由，可得，存在零点，即方程在有解，令，则．所以在单调递增，则的值域为，则实数的取值范围是．故选：D8．盲盒里有大小、形状完全相同的个绿球，个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，求出，利用全概率公式可求得的值.【详解】设“取出的球全是绿球”，“掷出点”，则，又因为从盲盒里每次取出个球的所有取法是，即基本事件总数为，而从袋中每次取出个绿球的所有取法是，即事件所含基本事件数为，所以掷出点，取出的球全是绿球的概率为，所以，.故选：B.二、多选题9．已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（

）123A．， B．，C． D．【答案】BC【分析】根据期望的公式以及分布列的性质列方程，求得，计算出，由此确定正确选项.【详解】依题意，所以，结合，解得，所以B选项正确.，所以C选项正确.故选：BC【点睛】本小题主要考查随机变量的分布列、期望和方差的知识，属于基础题.10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．在区间内有个极值点D．的图象在点处的切线的斜率大于【答案】ACD【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C正确；由可知D正确.【详解】由图象可知：当时，；当时，；在，上单调递增；在上单调递减；对于A，，，A正确；对于B，，，B错误；对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C正确；对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D正确.故选：ACD.11．下列说法正确的是（

）A．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好B．若随机变量，则C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种D．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率【答案】AC【分析】由残差的概念即可判断A；由二项分布的方差公式及方差的性质即可判断B；根据正难则反思想，求出满足条件的安排方法种数，即可判断C；求出至少有一名女生的对立事件的概率，即可得出至少有一名女生的概率，从而判断D．【详解】对于A：由残差的概念知，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故A正确；对于B：由随机变量得，则，故B错误；对于C：由题可知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，所有工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，故C正确；对于D：从10名男生、5名女生中随机选取4人，没有女生的概率为，故至少有一名女生的概率为，又，故D错误，故选：AC．12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可.【详解】令，则，因为恒成立，所以恒成立，所以在上递减，所以，即，所以，故A正确；，故B正确；，故C错误；故D错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.三、填空题13．某单位为了了解用电量(度)与气温(度)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表：气温(度)181310用电量(度)24343864由表中数据，得回归直线方程，若，则________．【答案】【分析】根据给定数表，求出样本的中心点，再利用回归直线方程求解作答.【详解】依题意，，，即样本中心点，代入回归直线方程，得，解得.故答案为：14．已知，则______．【答案】【分析】用赋值法，令和，分别求出和，即可求出答案．【详解】令，则，令，则，所以，故答案为：．15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则______．【答案】【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件的概率，然后直接利用条件概率公式求解．【详解】，．由条件概率公式得．故答案为：．16．已知函数若在区间上存在个不同的数，，，…，，使得成立，则的最大值为______．【答案】4【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解【详解】，当时，，令，得，当时，，当时，，在单调递增，在单调递减，作出图象，数形结合可得与在最多有4个交点，故答案为：4四、解答题17．为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．性别高级非高级合计女40m男n140合计（1）根据题意分别求出m，n，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手,设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和期望．附表：，其中．0.0100.050.0016.6357.87910.828【答案】（1），；没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关；（2）分布列见解析；期望为．【分析】（1）先求出列联表，再根据公式计算并判断；（2）由题意可知男、女各抽取5人，再得到女生的所有可能取值，根据超几何分布求出分布列及期望.【详解】（1），.，所以没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关.（2）根据分层抽样的特征10人中男女各5人，女生的人数X的所有取值为0，1，2，3；，，，；所以X的分布列为X0123P．18．5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：､､､…，，统计结果如图所示：(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.【答案】(1)（人）(2)（元）【分析】（1）根据正态分布所提供的数据计算即可；（2）先得X的可能取值，再求概率，然后用数学期望公式计算即可.【详解】（1）由题意知样本平均数为，∴，∵，所以，，而故2万名5H手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）（2）由题意可知X的可能取值有0､100､200､300，∴（元）19．已知函数(1)若和是的极值点，求实数的值；(2)当且时，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，解方程组可求出实数的值，然后再验证可，（2）将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可【详解】（1）由，得，因为和是的极值点，所以，解得，所以，，当或时，，当时，，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以（2）由，得在上恒成立，所以在上恒成立，令，，则令，，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围为20．某科技公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，对近10年研发资金投入量和销售额数据作了初步处理，得到下面的散点图.(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售额y关于年研发资金投入量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)①根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（精确到0.001）；②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.参考数据：其中.20303.29003003.78160058.21【答案】(1)(2)①；②40亿元【分析】（1）根据散点图可得答案；（2）根据所给数据和公式计算即可.【详解】（1）适宜作为年销售量额关于年研发资金投入量的回归方程类型.（2）①由，得，即，则关于的回归方程为所以，即②若下一年销售额需达到90亿元，则由，得，，所以预测下一年的研发资金投入量约为40亿元.21．某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验次；方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.参考数据：【答案】（1）（2）（ⅰ）（ii）8【分析】（1）对可能的情况分类：<1>前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，<2>前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据，找到与的函数关系；(ii)根据得到关于的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件，则，且互斥，所以（2），的取值为，，所以，由得，所以；（ii）,所以，所以，所以设，，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减又，所以的最大值为8【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记..22．已知函数.(1)设，求函数的极值；(2)设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；(3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)极小值；(2)见解析；(3).【分析】(1)由题意可得，令，得，再根据导数的正负确定函数的单调性从而即可得函数的