中考数学压轴题动点

./中考数学压轴题总结〔动点〔一因动点产生的相似三角形问题例1,已知抛物线的方程C1：<m＞0>与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧．〔1若抛物线C1过点M<2,2>,求实数m的值；〔2在〔1的条件下,求△BCE的面积；〔3在〔1的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH＋EH最小,求出点H的坐标；〔4在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在,求m的值；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．第〔3题是典型的"牛喝水"问题,当H落在线段EC上时,BH＋EH最小．2．第〔4题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作∠CBF＝∠EBC＝45°,或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程．满分解答〔1将M<2,2>代入,得．解得m＝4．〔2当m＝4时,．所以C<4,0>,E<0,2>．所以S△BCE＝．〔3如图2,抛物线的对称轴是直线x＝1,当H落在线段EC上时,BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P,那么．因此．解得．所以点H的坐标为．〔4①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC．设点F的坐标为,由,得．解得x＝m＋2．所以F′<m＋2,0>．由,得．所以．由,得．整理,得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4,作∠CBF＝45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,由于∠EBC＝∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中,由FF′＝BF′,得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2,．由,得．解得．综合①、②,符合题意的m为．例2,抛物线经过点A<4,0>、B〔1,0>、C〔0,－2三点．〔1求此抛物线的解析式；〔2P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；〔3在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标．,图1思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便．2．数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA．满分解答〔1因为抛物线与x轴交于A<4,0>、B〔1,0>两点,设抛物线的解析式为,代入点C的坐标〔0,－2,解得．所以抛物线的解析式为．〔2设点P的坐标为．①如图2,当点P在x轴上方时,1＜x＜4,,．如果,那么．解得不合题意．如果,那么．解得．此时点P的坐标为〔2,1．②如图3,当点P在点A的右侧时,x＞4,,．解方程,得．此时点P的坐标为．解方程,得不合题意．③如图4,当点P在点B的左侧时,x＜1,,．解方程,得．此时点P的坐标为．解方程,得．此时点P与点O重合,不合题意．综上所述,符合条件的点P的坐标为〔2,1或或．图2图3图4〔3如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为．所以．因此．当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为〔2,1．〔二因动点产生的等腰三角形问题例3,抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A<－1,0>、B<3,0>、C<0,3>三点,直线l是抛物线的对称轴．〔1求抛物线的函数关系式；〔2设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标；〔3在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．图1．思路点拨1．第〔2题是典型的"牛喝水"问题,点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第〔3题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答〔1因为抛物线与x轴交于A<－1,0>、B<3,0>两点,设y＝a<x＋1><x－3>,代入点C<0,3>,得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－<x＋1><x－3>＝－x2＋2x＋3．〔2如图2,抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时,PA＋PC最小,△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由,BO＝CO,得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为<1,2>．图2〔3点M的坐标为<1,1>、<1,>、<1,>或<1,0>．考点伸展第〔3题的解题过程是这样的：设点M的坐标为<1,m>．在△MAC中,AC2＝10,MC2＝1＋<m－3>2,MA2＝4＋m2．①如图3,当MA＝MC时,MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋<m－3>2,得m＝1．此时点M的坐标为<1,1>．②如图4,当AM＝AC时,AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10,得．此时点M的坐标为<1,>或<1,>．③如图5,当CM＝CA时,CM2＝CA2．解方程1＋<m－3>2＝10,得m＝0或6．当M<1,6>时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为<1,0>．图3图4图5例4,点A在x轴上,OA＝4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．〔1求点B的坐标；〔2求经过A、O、B的抛物线的解析式；〔3在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类,按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起．满分解答〔1如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C．在Rt△OBC中,∠BOC＝30°,OB＝4,所以BC＝2,．所以点B的坐标为．〔2因为抛物线与x轴交于O、A<4,0>,设抛物线的解析式为y＝ax<x－4>,代入点B,．解得．所以抛物线的解析式为．〔3抛物线的对称轴是直线x＝2,设点P的坐标为<2,y>．①当OP＝OB＝4时,OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．当P在时,B、O、P三点共线〔如图2．②当BP＝BO＝4时,BP2＝16．所以．解得．③当PB＝PO时,PB2＝PO2．所以．解得．综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示．图2图3考点伸展如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由,得抛物线的顶点为．因此．所以∠DOA＝30°,∠ODA＝120°．〔三因动点产生的直角三角形问题例5：在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y＝k<x2＋x－1>的图象交于点A<1,k>和点B<－1,－k>．〔1当k＝－2时,求反比例函数的解析式；〔2要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围；〔3设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值．思路点拨1．由点A<1,k>或点B<－1,－k>的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是．题目中的k都是一致的．2．由点A<1,k>或点B<－1,－k>的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O．3．根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形．满分解答〔1因为反比例函数的图象过点A<1,k>,所以反比例函数的解析式是．当k＝－2时,反比例函数的解析式是．〔2在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k＜0．当k＜0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大．抛物线y＝k<x2＋x＋1>＝的对称轴是直线．图1所以当k＜0且时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．〔3抛物线的顶点Q的坐标是,A、B关于原点O中心对称,当OQ＝OA＝OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形．由OQ2＝OA2,得．解得〔如图2,〔如图3．图2图3考点伸展如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线〔k＞0交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5,当A、C关于直线y＝x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形．图4图5例6,已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点〔点A在点B左侧,与y轴交于点C<0,－3>,对称轴是直线x＝1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D．〔1求抛物线的函数表达式；〔2求直线BC的函数表达式；〔3点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限．①当线段时,求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第〔3问的题意,在图中补出图形,以便作答．图1思路点拨1．第〔1、〔2题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题．2．第〔3题的关键是求点E的坐标,反复用到数形结合,注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,这样写点E的坐标就简单了．满分解答〔1设抛物线的函数表达式为,代入点C<0,－3>,得．所以抛物线的函数表达式为．〔2由,知A<－1,0>,B<3,0>．设直线BC的函数表达式为,代入点B<3,0>和点C<0,－3>,得解得,．所以直线BC的函数表达式为．〔3①因为AB＝4,所以．因为P、Q关于直线x＝1对称,所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为,点F的坐标为．所以,．进而得到,点E的坐标为．直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为〔1,－2．过点D作DH⊥y轴,垂足为H．在Rt△EDH中,DH＝1,,所以tan∠CED．②,．图2图3图4考点伸展第〔3题②求点P的坐标的步骤是：如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．〔四因动点产生的平行四边形问题例7,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B<1,0>、C<3,0>、D<3,4>．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．〔1直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；〔2过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大？最大值为多少？〔3在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内〔包括边界存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1思路点拨1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．满分解答〔1A<1,4>．因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y＝a<x－1>2＋4,代入点C<3,0>,可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－<x－1>2＋4＝－x2＋2x＋3．〔2因为PE//BC,所以．因此．所以点E的横坐标为．将代入抛物线的解析式,y＝－<x－1>2＋4＝．所以点G的纵坐标为．于是得到．因此．所以当t＝1时,△ACG面积的最大值为1．〔3或．考点伸展第〔3题的解题思路是这样的：因为FE//QC,FE＝QC,所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形．再根据FQ＝CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ＝CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形．,,,．如图2,当FQ＝CQ时,FQ2＝CQ2,因此．整理,得．解得,〔舍去．如图3,当EQ＝CQ时,EQ2＝CQ2,因此．整理,得．．所以,〔舍去．图2图3〔五因动点产生的梯形问题例8：已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A,B．〔1求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；〔2记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y＝3x－3交于点E,若,求四边形BDEP的面积．图1思路点拨1．这道题的最大障碍是画图,A、B、C、D四个点必须画准确,其实抛物线不必画出,画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移,不变的是顶点的纵坐标,不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7,那么点P向右平移到直线x＝3时,就停止平移．满分解答〔1直线y＝3x－3与x轴的交点为A<1,0>,与y轴的交点为B<0,－3>．将A<1,0>、B<0,－3>分别代入y＝ax2＋2x＋c,得解得所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．对称轴为直线x＝－1,顶点为<－1,－4>．〔2①如图2,点B关于直线l的对称点C的坐标为<－2,－3>．因为CD//AB,设直线CD的解析式为y＝3x＋b,代入点C<－2,－3>,可得b＝3．所以点D的坐标为〔0,3．②过点P作PH⊥y轴,垂足为H,那么∠PDH＝∠DPE．由,得．而DH＝7,所以PH＝3．因此点E的坐标为〔3,6．所以．图2图3考点伸展第〔2①用几何法求点D的坐标更简便：因为CD//AB,所以∠CDB＝∠ABO．因此．所以BD＝3BC＝6,OD＝3．因此D〔0,3．例9：已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为<4,0>,点C的坐标为,直线与边BC相交于点D．<1>求点D的坐标；<2>抛物线经过点A、D、O,求此抛物线的表达式；<3>在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式,设交点式比较简便．2．过△AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交,可以确定存在三个梯形．3．用抛物线的解析式可以表示点M的坐标．满分解答<1>因为BC//x轴,点D在BC上,C<0,－2>,所以点D的纵坐标为－2．把y＝－2代入,求得x＝3．所以点D的坐标为<3,－2>．<2>由于抛物线与x轴交于点O、A<4,0>,设抛物线的解析式为y＝ax<x－4>,代入D<3,－2>,得．所求的二次函数解析式为．<3>设点M的坐标为．①如图2,当OM//DA时,作MN⊥x轴,DQ⊥x轴,垂足分别为N、Q．由tan∠MON＝tan∠DAQ,得．因为x＝0时点M与O重合,因此,解得x＝7．此时点M的坐标为〔7,14．②如图3,当AM//OD时,由tan∠MAN＝tan∠DOQ,得．因为x＝4时点M与A重合,因此,解得x＝－1．此时点M的坐标为．③如图4,当DM//OA时,点M与点D关于抛物线的对称轴对称,此时点M的坐标为〔1,－2．图2图3图4因动点产生的面积问题例10,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点〔不与点A、B重合,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D．〔1求a、b及sin∠ACP的值；〔2设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在,直接写出m的值；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．第〔1题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角．2．第〔2题中,PD＝PCsin∠ACP,第〔1题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论．满分解答〔1设直线与y轴交于点E,那么A<－2,0>,B<4,3>,E<0,1>．在Rt△AEO中,OA＝2,OE＝1,所以．所以．因为PC//EO,所以∠ACP＝∠AEO．因此．将A<－2,0>、B<4,3>分别代入y＝ax2＋bx－3,得解得,．〔2由,,得．所以．所以PD的最大值为．〔3当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时,；当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时,．图2考点伸展第〔3题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比．而,BM＝4－m．①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时,．解得．②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时,．解得．〔七因动点产生的相切问题例11,A<－5,0>,B<－3,0>,点C在y轴的正半轴上,∠CBO＝45°,CD//AB,∠CDA＝90°．点P从点Q<4,0>出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒．〔1求点C的坐标；〔2当∠BCP＝15°时,求t的值；〔3以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边〔或边所在的直线相切时,求t的值．图1答案〔1点C的坐标为<0,3>．〔2如图2,当P在B的右侧,∠BCP＝15°时,∠PCO＝30°,；如图3,当P在B的左侧,∠BCP＝15°时,∠CPO＝30°,．图2图3〔3如图4,当⊙P与直线BC相切时,t＝1；如图5,当⊙P与直线DC相切时,t＝4；如图6,