数码相机定位问题

数码相机的定位问题摘要通过傍轴近似和远场近似，忽略相机成像的畸变和其他机械或光学因素，本文将数码相机成像原理简化为小孔成像模型，并进一步建立中心透视投影模型，使相机成像过程简化为简明的立体几何关系。建立靶标坐标系和照相机坐标系，用坐标转换矩阵表示不同坐标系之间的变换关系，得到靶标上某点的像坐标与其在靶标坐标系中坐标的对应关系，可列出一系列方程。由射影几何中关于曲线切线的射影几何原理，我们选择一系列圆之间的公切线的切点作为特征点，代入题中所给实例，通过matlab使用最小二乘法，可求解单个固定照相机的系统参数 为（2.334，0.911,0.534，57.65,31.14，1829.4）。取靶标中心为原点，得到靶标上圆心的靶标系坐标，利用得到的上述照相机参数进行坐标变换可以求出圆心在像平面上的像坐标为（-190，-195）；（-89，-188）；（130，-172）；（71，118）；（-228，118）。同时，由于本题中靶标上圆的排列十分整齐，利用切线投影不变的性质，我们可以直接在像平面上找出圆心的射影，其结果与上述求解得到的结果十分接近。我们对模型进行了灵敏度分析，发现相机成像对角度的变化较为灵敏。然后根据系统参数，建立模拟相机，对所给靶标进行模拟摄像得到理论的成像，并与题中原像进行对比检验，发现两者十分接近，说明这是一个具有良好扩展性和可操作性的模型。关键词：小孔成像射影几何切线最小二乘法一、问题的提出数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。图1靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。图2靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。图3靶标的像请你们：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位（1毫米约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024X786；（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题分析计算机视觉的基本任务之一，就是从摄像机捕获的二维图象信息出发，计算三维空间中物体的几何信息，并由此重建和识别物体。双目定位法是模拟人或生物的视觉系统功能来进行定位，定位过程中需要的两部照相机的精确相对位置，这需要通过系统标定来确定。为了把实际数码相机成像的物理问题转化为数学模型，我们要分析清楚照相机成像的基本光学原理，并通过确定靶标上圆的特征点及其在像中的对应点，来建立简明的立体投射几何关系。显然，空间中某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系是由照相机成像的几何物理特性决定的，而这些就是照相机的参数。那么只要我们知道靶标圆上的特征点的靶标坐标系的坐标及其在像中对应点的像坐标，代入我们的相对关系方程，就可以解出单部位置固定的照相机在世界坐标系中的三维位置和方向等参数。从而可以反过来确定靶标圆心的像坐标。同样地，只要我们对另外一部相机的成像进行类似的分析，就可以得到另一台相机对靶标的相对位置。通过系列的相对坐标变换我们一定可以确定两部相机的相对位置。

三、基本假设1）2）1）2）3）四、符号说明“山靶标固有坐标系，靶坐标的:方向即为靶标平面的法向量锻;if 像平面坐标系，原点为像平面中心；世界坐标系，原点为光心，IT平面与像平面平行；h 像距；僦“鬲）靶标坐标系原点（即靶标中心）在世界坐标系中的坐标；五、模型建立将数码相机成像的物理过程转化为数学问题，建立简化模型：通过傍轴近似和远场近似，我们将透镜成像模型近似的用小孔模型代替。如图4所示，M代表靶标上的点，0代表相机的光心位置，而 为像平面，P为M所成的像。图4小孔成像模型图5图5中心透视投影模型事实上，如图5所示，我们可以进一步把小孔模型转化成中心透视投影模型底部的圆代表靶标上的某圆，0代表相机光心，而B代表像平面，B'为与其共轭对称的像平面。由于其对称关系，我们可以在靶标圆与像平面B'上的像建立射影几何关系。根据射影几何定理，二次曲线关于某点的投影仍为二次曲线。因此我们可判断图5中B'像中图形为椭圆。而且，曲线的切线其投影仍与曲线的投影相切，而且切点的投影仍为曲线投影的切点。那么两圆的公共切线关于点的射影仍然与两圆关于点的射影得到的椭圆相切。而且切点为原圆切点的射影点。因此在靶标上各圆的公共切线的各切点可以选做特征点，其在投影椭圆上的对应点则为对应椭圆的公共切线的相应切点。要确定单部相机在空间中的位置，需要6个自由度（3个位移自由度，2个取向自由度，1个转动自由度）。只要给出这6个自由度，便可完全确定相机的空间性质。我们首先建立两个坐标系，世界坐标系（由于相机固定，默认相机坐标系与世界坐标系重合，相机坐标系的原点为光心），靶标坐标系"靶标坐标系的原点在靶标的中心。然后我们通过坐标的转换矩阵来确定不同坐标系的对应关系。则总旋转矩阵为如图6所示，使坐标系绕坐标系▼的T轴方向旋转"角，得到的旋转矩阵记为：再绕系:轴方向旋转角，旋转矩阵记为可以得到一个临时坐标变换矩阵矩阵cosco^cos—sm^?smw可算出转移矩阵为B=则总旋转矩阵为如图6所示，使坐标系绕坐标系▼的T轴方向旋转"角，得到的旋转矩阵记为：再绕系:轴方向旋转角，旋转矩阵记为可以得到一个临时坐标变换矩阵矩阵cosco^cos—sm^?smw可算出转移矩阵为B=B(乩9、3)=于是，有COSyCOSU?Sl.ll +COS(ZJSillw—cossinsinw甲一COK^€OSQ?HLllu；COSL?A—c7s((pjc?„(oJ=cos0sin.^?记坐标系I—•在经过平移U旋转，i:“之后，与「•上的「成.角。那么.共同确定了靶标的朝向，且x= 旳=GfJ^)A~1Xt=BX'其中，门—「「丨。同时，‘r_「 .v-门＞：o13~]13~]coswsinHsinsin(?OS0IQS召cos甲cosw—sin/>\na>—co«u?sill<^—cos^cos<-incv

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记，「i为靶标圆心在照相机坐标系中的坐标，，「打为靶标圆心的像在像平面上的坐标，由上面知有变换关系根据对应投影关系，有其中,，为比例系数，匚为相机的焦距。由图中的几何关系可以得到，像平面坐标与相机坐标的对应关系为显然，「八护都可以表示成为X..的函数，而再由那么可以表示成为'：/..\ in，7.. ,；■的函数。这样我们就可以得到一系列的方程，如下…一ww-r…一ww-r根据上述方程，我们可以代入相应的像坐标和靶标坐标从而解出相机系统的各个参数，实现系统的标定。得到照相机的各个参数之后，只要确定靶标上圆的圆心在靶标坐标系上的坐标，我们就可以直接通过模拟相机的成像过程，得到圆心在像平面上的像坐标。同样地，我们可以实现另一台相机的标定，得到两台相机的系统参数而由上述的讨论知：可以把相机在靶标坐标系中的坐标分别表示为&y=b2ax>=B2(-X2)其中，打表示相机，相对于靶标的变换矩阵，工表示靶标在相机的坐标系中的坐标表示。那么，我们可以得到两台相机的相对位置在靶标坐标系中的表示共切线，可以确定五个点的靶标坐标。图8共切线，可以确定五个点的靶标坐标。图8在靶标上的取点当然，我们同样可以求出相机相对位置在其他任何已知的坐标系中的表示比如说，在•坐标架中，◎a仁=/?-（启y=珥弋—&禺十B、x,这样，两台相机的相对位置就已经可以完全确定了。六、模型求解我们通过对题中所给靶标和单个固定数码相机所摄得的像进行分析，在靶标上做相邻两圆的的公共切线，找出其切点的靶标坐标，同样，在像平面上做相应相邻椭圆的公共切线，并找出其切点的像坐标。首先，如图8所示，做靶标上圆A,B,C上部的公共切线，圆D,E下部的公其次，如图9（下页）所示，在像平面上，作上方三个椭圆上部的公切线，和下方两个椭圆下部的公切线，则可以确定第一步选取的五个特征点在像平面上的对应点。由于在本题中，靶标的圆分布具有很好的特性，上面的三个圆圆心在一条直线上，因此这三个圆有一条公切线，取点可以比较简便。对于一般的情况，即没有三个圆心在同一直线上时，只需确定两圆的公切线及相应切点作为特征点即可。

图9在像平面上的对应点图9在像平面上的对应点得到的特征点及其对应点的坐标如下表：靶标靶坐标像坐标x/pxy/pxx'/pxy'/pxA-189-234.36-183-236B-75.6-234.36-84-227C189-234.36138-210D189234.3664150E-189234.36-233152由于JG+”I|：；F汁“|｛班匕

Zn+B-i,1 yi由上表数据，我们使用最小二乘法对上述方程进行求解。最小二乘法的优化目标模型如下 3陳加=\I£同-即+(%-朗这里.；、「为像平面上测得的切点坐标，/、.字为靶标圆上切点坐标经模型演算后得到的像平面切点坐标理论值，因此「表征模型计算的残差。应用matlab求解得到单个固定相机的系统参数为(―事0XgYt).ZLJ)=(2.334.0.911.0.534,57+65:31,14,1829.4)

我们将靶标上圆心的靶标坐标，代入相机系统得到各圆心在像平面的像坐标ABCDE靶标坐标(-189,-189)(-75.6,-189)(189，-189)（189，189）(-189,189)像坐标(-190,-195)(-89，-188)(130，-172)（71，118）(-228，118)七、灵敏度分析从上题得到相机的几何性质，我们尝试对其6个自由度分别作1%的变动（保持其余自由度不变），再推算出像的成像的位置。下表为系统残差对各参数的反应：计算值~~L~"T-Xf5761.131.0831.11.011.021829.42.722.820.5341.041.10计算值~~L~"T-Xf5761.131.0831.11.011.021829.42.722.820.5341.041.100.9102.132.522.3345.435.85表中「和：分别表示对自由度作正或者负1%的变动时，残差f的变化量，单位为像素。由表中数据，我们看到系统对；的变化最为灵敏。而相对于平移参量，角度参量的灵敏度则明显较大。说明在照相机摄像的时候，照相机角度对成像的影响大于距离对成像的影响。那么在使用双目定位法进行定位的时候，要两台照相机的夹角应较小，这样两台照相机对运动物体进行定位时，角度变化都不大。

八、模型检验1）由于该靶标上圆的位置关系十分整齐，四个圆分别处于正方形的四个角上，而剩下的一个圆的圆心与其他两个圆的圆心共线。由射影几何的性质，我们可以直接在像平面上确定各个圆心在像平面上的像坐标。如图11所示，通过做各个椭圆相互的公共切线，将各个切点连接起来之后，得到的交点，就是圆心的像坐标。图11切线法确定圆心的像坐标通过做图法的到圆心像坐标为（-189，-185），（-90，-187），（-127，-171）（69，119），（-228，-119）。我们把通过模型求解得到的圆心像坐标与做图法得到的圆心像坐标进行对比，如下表所示：ABCDE做图法(-189,-185)(-90,-187)(-127,-171)(69,119)(-228,-119)计算法(-190,-195)(-89,-188)(130,-172)(71,118)(-228,118)2）另外，还通过靶标圆上点与像点的一一对应关系，得到下面的理论像平面，我们通过将原图与理论像平面进行对比，发现其基本重合。（白色椭圆为理论成像，我们特意缩小了一点，方便与原图比较。）九、模