高教版中职数学拓展模块全册教案【表格式教案】

高教版中职数学拓展模块

全册教案

目录

11.1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）.......1

i1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）.......8

11.2正弦型函数（一）..........................15

11.2正弦型函数（二）..........................20

11.2正弦型函数（三）..........................29

11.3正弦定理与余弦定理（一）..................35

11.3正弦定理与余弦定理（二）..................41

11.3正弦定理与余弦定理（三）..................46

12.1椭圆（一）................................51

12.1椭圆（二）................................58

12.2双曲线（一）..............................66

上2.2双曲线（二）..............................73

12.3抛物线（一）..............................81

上2.3抛物线（二）..............................89

13.1排列与组合（一）..........................95

i3.1排列与组合（二）.......................102

13.1排列与组合（三）.........................108

4-3.2二项式定理.............................113

13.3离散型随机变量及其分布（一）...........119

上3.3离散型随机变量及其分布（二）...........126

上3.4二项分布（一）..........................132

上3.4二项分布（二）..........................137

L3.5正态分布................................144

1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式(一)

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的

计算和化简.

能力目标：

学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高.

【教学重点】

本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式.

【教学难点】

难点是公式的推导和运用.

【教学设计】

在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到

cos(60°一30°)Wcos600-cos30°,

然后提出如何计算cos(a-0的问题.利用矢量论证cos(a-0的公式，使得公式推导过

程简捷.教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上.例1和例2

都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点.推广sin(5-a)=cosa时，

用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维.公式sin(a+0的推导过程是，首

先反向应用例3中的结论cos(工-a)=sina,然后再利用公式cos(a-p),最后整理得到公

式.教学关键是引导学生将(a+尸)看做整体，这样才能应用公式cos(]-a).逆向使用公式,

培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学

上引起足够的重视.得到这些公式后，要强调公式cos(a-Q)是最基本的公式，要求学生理

解其他公式的推导过程，同时将公式sin(a±0和公式cos(a±0相对比进行记忆.要帮助

学生总结公式中角a和角尸以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特

点记忆公式.抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务.例4利用

15。=60。-45。求解，还可以利用15。=45。-30。求解.例5通过逆向使用公式来巩固知识，

这种方法在三角式的变形中经常使用.例6是三角证明题.教材给出了两种证明方法，体现

了正向与逆向使用公式的思路.教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得

学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力.

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【教学备品】

教学课件.

【课时安排】

2课时.（90分钟）

【教学过程】

教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

*揭示课题

介绍了解0

1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式.

*创设情境兴趣导入

1c播放观看引导

问题我们知道，cos60o=Lcos30o=火，显然

22课件课件启发

cos（60°-30°）Wcos60°-cos30°.学生

质疑思考得出

由此可知cos（a-尸）¥cosa-cos

结果5

*动脑思考探索新知

晶

V71

思考

在单位圆（如图1-1）中，设向量5、而与X轴正半轴

的夹角分别为a和°，则点4（cosa,sina）,点8（cos^sin^）.

因此向量04=（cosa,sina；，向量0B=（cos夕,sin夕），且

丽=1,画=1.

总结

归纳启发

于是OA-OB=|OA||OB|•cos（a一1）=cos（a-/3）,

引导

学生

又OA.OB=cosa•cos夕+sina•sin夕，

发现

所以cos（a一B）=cosacos夕+sina•sin夕.（1）解决

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教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

问题

又cos（a+4）=cos[a-（一见

的方

=cosa•cos（一夕）+sina•sin（一4）法

=cosa-cos夕一sina•sin夕.（2）

利用诱导公式可以证明，（1）、（2）两式对任意角都成立（证仔细

分析理解

明略）.由此得到两角和与差的余弦公式

讲解

cos（a+，）=cosa-cos一sina•sin夕（1.1）关键

词语

cos（a-，）=cosa-cos/?+sina•sinB，（1.2）

公式（1.1）反映了a+月的余弦函数与a,4的三角函

数值之间的关系；公式（1.2）反映了a-4的余弦函数与a,

尸的三角函数值之间的关系.记忆

15

*巩固知识典型例题

例1求cos75。的值.

引领观察

分析可利用公式（1.1）,将75°角看作45°角与30°

角之和.

解cos750=cos（45°+30°）

=cos45°cos30°-sin45°sin30°

讲解思考

V2V3721

=——X----------X—说明

2222

主动注意

A/6-A/2求解观察

4学生

34是否

例2设cosa=《,cosQ=《，并且a和2都是锐角，求

引领观察理解

cos（a+夕）的值.知识

点

分析可以利用公式（1.1）,但是需要首先求出sina与

sin尸的值.分析思考

解因为cosa=1R,cos/?=14,并且a和夕都是锐角，

说明

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教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

所以sina=，1-cos2a=1,sin/?=>23

/1-COSB=一,

5

因此cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin/?,

_3443

X----x-=0.

~5555

._jrjr

例3分别用5111。或85。，表示85（万-。）与sinq-a）.

71启发理解

解bJJcos(/-兀-a)、-cos—兀•cosa+si,n--sina

2引导

=0cos6r+lsincr=sina□答

兀

故cos(—一a)=sina.

令5-a=A，则a=^-力，代入上式得

学生

1Jl

cosft-sin(y-ft)启发自我

发现

兀

即sin(y-a)=cosa.分析归纳

25

*运用知识强化练习及时

了解

1.求cos105。的值.

提问动手知识

2.求cosl5。的值.

巡视求解掌握

指导情况35

*动脑思考探索新知

71

由于cos(--a)=sina.对于任意角者15成立，所以

总结思考

会(a+0弓-a)”

sin(a+B)=cos=cos归纳启发

引导

5-a)•sin夕

=cos(_a)•cosB+sin(学生

=sina•cos0+cosa•sin".发现

理解解决

sin(a-B)=sis[a+(一夕)]=sina-cos(一4)+cosa-sin(-/?)

仔细问题

分析

=sina-cosp-cosa•sinp.的方

讲解法

由此得到，两角和与差的正弦公式

关键

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教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

sin(a+4)=sina•cosp+cosa•sin夕(1.3)词语记忆40

sin(6Z-y0)=sin-cos/3-cosa-sin0(1.4)

*巩固知识典型例题

例4求sin15。的值.

引领观察注意

分析可以利用公式(1.1),将15°角可以看作是60°

观察

角与45°角之差.学生

解sinl50=sin(60o-45°)是否

=sin60°cos45°-cos60°sin45°理解

讲解思考

V3V21V2知识

=——X------X——

2222说明点

屈-五主动

4求解

例5求sinl05°cos750-cosl05°sin750的值.

引领观察

分析所给的式子恰好是公式右边的形式，可以考虑逆向

使用公式.学生

解sin1050cos750-cos105°sin75°=sin(l05°-75°)自我

1分析思考发现

=sin30°=--

2归纳

例6求证68501+5出。=25出(1+。).

说明理解

证1右边二2(sin—cosa+cos—sina)

,1.、

=2、小(-cos6Z+—sina)

二百cosa+sina=左边.

故原式成立.

hi

证2左边二2('cosa+ssina)

〜.兀兀.、

=2(sm—cosa+cos—sma)

=2sin(y-i-a)=右边.

故原式成立.

55

*运用知识强化练习及时

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教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

1.求sinl05。的值.了解

提问动手学生

2.求sin255。的值.

巡视求解知识

3.求sin25°cos85°-cos25°sin85°的值.

指导掌握

情况65

*理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

质疑小组师生

两角和与差的余弦公式及正弦公式内容分别是什么？

讨论共同

结论：归纳

回答强调

两角和与差的余弦公式

重点

cos(a+4)=cosa.cos夕一sina•sin夕(1.1)理解突破

归纳

难点

cos(a-=cosa•cos£+sina•sin夕(1.2)强调强化

两角和与差的正弦公式

sin(a+夕)=sina•cosp+cosa•sin(1.3)

sin(a一4)=sina•cos(3-cosa•sin/(1.4)

70

*归纳小结强化思想

引导回忆

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

75

*自我反思目标检测培养

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？学生

提问反思总结

你的学习效果如何？

反思

已知cosa=-且兀求sin（a-：）的值.学习

巡视动手过程

指导求解的能

85

力

*继续探索活动探究

说明记录

（1）读书部分：教材分层

次要

（2）书面作业：教材习题1.1（必做）；学习指导1.1（选

求

做）

（3）实践调查：用两角和与差的余弦公式或正弦公式印证

90

一组诱导公式

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【教师教学后记】

项目反思点

学生是否真正理解有关知识；

学生知识、技能的掌握情况是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题：

学生是否参与有关活动；

学生的情感态度在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

学生思维情况

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；

学生合作交流的情况在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

学生实践的情况

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

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1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式(二)

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的正切公式，了解二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函

数式的计算和化简.

能力目标：

学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高.

【教学重点】

本节课的教学重点是二倍角公式.

【教学难点】

难点是公式的推导和运用.

【教学设计】

考虑到学生继续学习的需求，介绍两角和与差的正切公式。例7是应用两角和正切公式

的基本题目.例8的两道题目，对学生来说是比较困难的，但是这两道题目是非常关键的.要

以他们为载体，提升学生的数学思维能力.对例8(2),要引导学生思考，将两个地方的1

用tan45。替换，就可以利用两角和正切公式了.本例题所使用的方法，在三角式变形中经

常使用.

明确二倍角的概念.二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函

数.二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点.例9中，要

想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值.求cos2a时，使用的公式有利用同角三

角函数关系、利用cosa和利用sina的三类公式可供选择.选用公式cos2a=l-2sin2a的

主要原因是考虑到sina是已知量.例10中，讨论式角的范围是因为利用同角三角函数关

2

系求sint时需要开方.旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式.教材在

2

求sinq时，利用了升塞公式，由讨论@角的范围来决定开方取正号还是负号•.虽然这里就

42

是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半

角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍.例11是三角证明题.证明的基本思路是将

角用半角来表示，再进行三角式的化简.

【教学备品】

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教学课件.

【课时安排】

2课时.（90分钟）

【教学过程】

教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

*揭示课题

1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式.介绍了解引导0

启发

*创设情境兴趣导入播放观看学生

问题两角和的余弦公式内容是什么？课件课件得出

两角和的余弦公式内容是什么？质疑思考结果5

*动脑思考探索新知

由同角三角函数关系，知

总结思考

A\_sin(a+£)_sinacos£+cosasin£归纳

tan(a+p)__»

cos(a+p)cosacos°-sinasinp

当cosacos尸wO时，得到仔细理解启发

分析引导

八、tana+tan。学生

tanz(a+4)=------------(1.5)讲解

1-tan6T-tan/?关键发现

解决

利用诱导公式可以得到词语

问题

,a、tan6Z-tanB

tan(a-£)=----------J(1.6)的方

1+tana-tanp法

注意在两角和与差的正切公式中，a,£的取值应使式子记忆

的左右两端都有意义.15

*巩固知识典型例题

例7求tan75°的值,引领观察

注意

分析可以将75°角看作30°角与45°角的和.

讲解思考观察

*ru。,cc。，tan300+tan45"

解tan75=tan(30+45)=--------------说明学生

1-tan30°tan45°

主动是否

求解理解

知识

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教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

凡1点

='=塔=2+6.引领观察

IV33-V3思考

1------

3分析

例8求下列各式的值

八、tan25°+tan35°…、1+tan15°

(1)；(2)--------------.

1-tan250tan3501-tan15°

分析(1)题可以逆用公式(1.3)：(2)题可以利用说明

tan45°=1进行转换.学生

自我

解(1)tan2：)+tan35-=tan(25°+35°)

1-tan25°tan35°发现

启发归纳

=tan60°=G；

引导

/c、1+tan15°tan450+tan15°

(2)--------------------=----------------------

1-tan15°1-tan45°tan15°理解

=tan(45°+15°)=tan60°=«.启发

□答

25

【小提示】分析

例4(2)中，将1写成tan45°,从而使得三角式可以应用

公式.要注意应用这种变形方法来解决问题.

*运用知识强化练习

1.求tan15°的值.提问动手及时

巡视求解了解

2.求tanl050的值.指导知识

3.求.[tan、的值.掌握

1+V3tanl5°情况

35

*动脑思考J采索新知

在公式(1.3)中，令a=/3可以得到二倍角的正弦公式

sin2a=sinacosa+cosasintz=2sincrcosa.

即

sin2a=2sinacosa(1.7)

总结思考启发

同理，/A式(1.1)中，令a=/3,可以得到二倍角的余弦

y।纳引导

公式学生

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教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

cosla=cos26Z-sin2a(1.8)发现

解决

因为siYa+cos2a=1,所以公式(1.8)又可以变形为

问题

cos2a=2cos2,的方

或cos2a=1-2sin2a.法

还可以变形为

.21-cos2a

sina=------------,

2

t1+cos2a仔细

或cos~2a-------------.

2分析理解

讲解

在公式(1.5)中，令a=B，可以得到二倍角的正切公式

关键

2tana

tan2。-(1.9)诃语

1-tan7a

公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具有二

倍关系的角的三角函数之间的关系.在三角的计算中有着广泛

的应用.

记忆

40

*巩固知识典型例题

例9已知sina=g,且。为第二象限的角，求sin2a、引领观察

cos2a的值.

解因为Q为第二象限的角，所以

注意

cos6Z=-Vl-sin2a=,观察

讲解思考学生

士卜•c0•24

nxsin2a—2sincccosOC—，说明是否

25

主动理解

.27

cos2a=l-2sina=—.求解

25知识

a]ex点

例10已知cos—二-一，且ac（7i,27t），求sina、cos—的引领观察

234

值.

分析q与a,q与q之间都是具有二倍关系的角.

224

分析思考

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教学教师学生教学时

过程行为行为意图间

解由aw（兀,2兀）知（］,兀），所以

.aL2aI,12j2

sm^yi-co/Tl-旷丁,

故

_.cra、26,1、4V2

sina=2sin—cos—=2x------x(一一)=-----.

22339

由于巴£(巴,四)，且

442说明理解学生

自我

1+cos1+(—).

d=2=3、［发现

4223归纳

所以

aV3

cos-=——.

43

【注意】

使用公式（1.8）的变形公式求三角函数的值时，经常需要

进行开方运算，因此，要首先确定角的范围.

例11求讦tan°二l一际。

2sina

2aa

cos—cos—

g.aa个.a2

2sin—cos—2sin—