全高中数学-数形结合六大应用及例题详解

[全]高中数学-数形结合六大应用及例题详解数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。一、什么是数形结合？1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化二、数形结合应用的三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。三、如何运用数形结合思想解答数学题1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。四、应用方式和例题详解（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用解析：方法说明：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。（2）解不等式问题经常联系函数图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上下位置关系转化数量关系来解决 不等式的解得问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标。（二）数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用方法说明：解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题。在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁。（三）数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用方法说明：本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决。（四）运用数形结合思想研究复数问题复数的几何意义用向量表示，把复数与平面几何和解析几何有机地联系起来，复数几何意义充分体现了数形结合的思想方法。分析说明：本题的常规解法是根据已知条件，寻求变量x和y关系，转化为一元函数，按照求二次函数的最值的方法求解，这个解法虽遵循操作程序，但对解题过程中出现情况难以预料，对可能发生的疏漏不易察觉，而且解题过程很长。而用数形结合的思想方法，则通过图形直接揭示出问题的本质面貌，在很短时间内就能直观地看到十分简捷的解题途径直接获得可靠地结果，这对只要写出结果的选择和填空题中，有显著的优越性，当这种机会出现时，应是首选的解题方法。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。（五）数形结合思想在集合中的应用图示法是集合中普遍运用的一种方法，运用数形结合的思想解题.往往能够化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交、并、补的关系直观、形象的显示,从而灵活、简捷、准确的获解。分析说明：数形结合思想在集合中的应用首先将抽象的数字语言转化为符号语言，进而转化成图像语言，得出结果后，再由图形语言转化成数字语言。（六）运用数形结合思想解决函数问题加强数形结合意识，做到脑中有图，将图形性质与数量关系联系起来，可使复杂问题具体化，达到化难为易，解决问题的目的。分析说明：函数的图像是函数关系的一种表示，它是从