2024届白鹭洲中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析

2024届白鹭洲中学高二上数学期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在处的切线如图所示，则（）A. B.C. D.2．已知双曲线的离心率为2，则（）A.2 B.C. D.13．已知命题：，，命题：，，则（）A.是假命题 B.是真命题C.是真命题 D.是假命题4．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（）A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和5．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.16．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线(，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.7．已知x，y是实数，且，则的最大值是（）A. B.C. D.8．设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则9．在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（）A. B.C. D.10．“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则12．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________14．已知，则曲线在点处的切线方程是______.15．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________16．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为______.类别老年教师中年教师青年教师合计人数900180016004300三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（其中a常数）（1）求的单调递增区间；（2）若，时，的最小值为4，求a的值18．（12分）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，（1）求证：平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值19．（12分）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于直线对称，求的最大值.20．（12分）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：（1）n的值；（2）展开式中x项的系数；（3）展开式中所有含x的有理项21．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前n项和.22．（10分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（2）试估计测评成绩的75%分位数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由图可知切线斜率为，∴.故选：C.2、D【解题分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求.【题目详解】由双曲线方程可知，因为，所以，解得：，又，所以.故选：D【题目点拨】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.3、C【解题分析】先分别判断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.【题目详解】由题意，，所以，成立，即命题为真命题，，所以不存在，使得，即命题为假命题，所以是假命题，为真命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.故选：C4、D【解题分析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项，进行分析求解即可【题目详解】由题意可得，第个括号内有个数，对于A，由题意得前9个括号内共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，所以A错误，对于C，前10个括号内共有个数，所以C错误，对于B，令，得，所以2021为数列的第1011项，由AC选项的分析可得2021在第10个括号内，所以B错误，对于D，因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和为，所以D正确，故选：D【题目点拨】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项，考查分析问题的能力，属于较难题5、C【解题分析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【题目详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C6、C【解题分析】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，所以，则，解得，双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C.7、D【解题分析】将方程化为圆的标准方程，则的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，进而根据直线与圆相切求得答案.【题目详解】方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与点A连线的斜率，设，即，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB时斜率最大.此时，，，所以的最大值为.故选：D8、B【解题分析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.【题目详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直则由，不能得出，故选项A不正确.选项B.,则正确，故选项B正确.选项C若，则与可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.选项D.若，则与可能相交，可能平行，故选项D不正确.故选：B9、B【解题分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【题目详解】由题意可得故选：B.10、A【解题分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，【题目详解】当且时，成立，反过来，当时，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A【题目点拨】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.11、C【解题分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案【题目详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或与相交，故B错误；对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；故选：C12、C【解题分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【题目详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【题目点拨】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.【题目详解】解：因为函数，则，所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，故答案为：.14、【解题分析】求导，得到，写出切线方程.【题目详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程是，即，故答案为：15、平行，相交或者异面【解题分析】由空间中两直线的位置关系求解即可【题目详解】由题意与同一条直线都相交的两条直线的位置关系可能是：平行，相交或者异面，故答案为：平行，相交或者异面，16、【解题分析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.故答案为.考点：分层抽样.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，然后解不等式，可得答案；（2）由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值，进而可求得实数的值.【题目详解】（1），令，解得.所以，函数的单调递增区间为；（2）当时，，所以，所以，解得.18、（1）见解析（2）【解题分析】（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。【题目详解】（1）∵四边形ABEF为矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，,,设是平面CDF的一个法向量，则即令，解得又是平面AEFB的一个法向量，∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.【题目点拨】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。19、（1）（2）【解题分析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.【小问1详解】设，由题意，得：，化简得，所以点轨迹方程为【小问2详解】方法一：设，因为点与点关于点对称，则点坐标为，因为点在圆，即上运动，所以，所以点的轨迹方程为，所以两圆的圆心分别为，半径均为2，则.方法二：由可得：所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆轨迹的圆心到直线的距离为：20、（1）4（2）54（3）第1项，第3项，第5项【解题分析】（1）由题可得，解方程即得；（2）利用二项展开式的通项公式，即得；（3）利用二项展开式的通项公式，令，即求【小问1详解】由已知，得，即，所以或（舍），∴【小问2详解】设展开式的第项为令，得，则含x项的系数为【小问3详解】由（2）可知，令，则有，2，4，所以含x的有理项为第1项，第3项，第5项21、（1）（2）.【解题分析】(1)由数列的前n项和与通项公式之间的关系即可完成.(2)由错位相减法即可解决此类“差比”数列的求和.【小问1详解】由，得当时，，上下两式相减得，，又当时，满足上式，所以数列的通项公式；【小问2详解】由（1）可知，所以，则，上下两式相减得，所以.22、（1）20人（2）（3）【解题分析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例【小问1详解】由频率分布直方图知，分数在[50