第一节二维随机变量

第三章知识结构图多维随机变量联合分布律联合分布函数函数的分布联合概率密度二维离散型随机变量联合分布函数函数的分布二维连续型随机变量定义常用分布定义常用分布第三章多维随机变量及其分布1.一维随机变量和分布函数的概念2.一维离散型随机变量及其分布律4.随机变量函数的分布第二章中讨论的问题本章将给出二维随机变量、联合分布率、联合概率密度和二维联合分布函数的概念3.一维连续型随机变量及其概率密度一.二维随机变量及分布函数的概念1.定义设是随机试验E的样本空间是定义在S上的随机变量由它们构成的向量称为二维随机变量或二维随机向量.均要求定义在同一个样本空间S上.第一节二维随机变量注：▲▲的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.的几何解释:或:e给出平面上的一个随机点(随机向量)▲定义2(二维随机变量的分布函数)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为(X,Y)

的联合分布函数.注:随机变量，对于任意的实数二元函数设是二维的联合分布函数的几何意义:▲若将看成是平面上随机点的坐标则在处的函数值随机点落在以为定点而位于该点左下方的无穷矩形内的概率.的概率为:落在矩形区域:▲如图:2.二维随机变量分布函数F(x,y)的性质性质1F(x,y)分别对x和y单调非减,即:对固定的y,X是非减的对固定的x,y是非减的性质2F(x,y)对每个自变量x或y是右连续的，即:性质3随机点落在这三种情形所示的矩形内是不可能事件，故概率趋向于零随机点落在这种情况所示的矩形内是必然事件，故概率趋于1性质4当时，有：说明：BCD不等式左边恰好是〔X,Y〕落在矩形ABCD内的概率，而概率具有非负性，故得此不等式。小注：性质1～性质3同一维随机变量分布函数的性质。性质4不同于一维随机变量的分布函数。假设性质1～性质3均满足，但性质4不满足，那么不称之为联合分布函数。现找4个点如下：这说明F(x,y)不是二维随机变量的分布函数，仅仅是一个二元函数比方：对这分布函数来验证第4条性质。即第4条性质不满足二.二维离散型随机变量及其分布1.二维离散型随机变量的定义如果随机变量X,Y的取值(x,y)只能是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.2.二维离散型随机变量的分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取的值为为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，或称为联合分布律.那么：其相应的概率注:同一维随机变量(离散型)类似，一般可用XY▲以下表格形式表示：例1.求:(X,Y)的分布律当不能被整除时：随机变量当能被整除时：随机变量当能被整除时：随机变量从数中任取一个数(同一维情形）二维离散型随机变量的联合分布律具有两条性质▲当不能被整除时：随机变量0X=1,5,7,11,13,17,19这7个数不能被2,3整除3,9,15,21这4个数不能被2,能被3整除2,4,8,10,14,16,20这7个数不能被3整除,但能被2整除6,12,18这3个数能被2整除,又能被3整除不难易证:由题意可知：X取值为0,1；Y的取值为0,1解:故得：(X,Y)的联合分布律为:XY同一品种的五个产品中，有两个正品。每次从中取一个检验质量，不放回地抽样，连续两次。若记表示第k次取到正品；表示第k次取到次品求:的联合分布律.例2.(k=1,2)由题意的取值为：0,1；的取值为：0,1解:显然所求概率满足联合分布律的两条性质.故的联合分布律为:3.二维离散型随机变量的分布函数若(X,Y)是离散型随机变量,则其联合分布函数为：(其中“和式”是对一切满足)三.二维连续型随机变量及其分布1.二维连续型随机变量的定义2.二维连续型随机变量的(联合)概率密度与分布函数(1)定义如果随机变量(X,Y)的取值不能一一列出，而是连续的,则称(X,Y)为连续型随机变量.若存在非负的二元函数对任意的有：则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，为(X,Y)的联合概率密度；为(X,Y)的联合分布函数.(2)f(x,y)的性质性质1性质2性质3假设f(x,y)在点(x,y)处连续，那么：性质4设G是XOY平面上的一个区域，那么点(x,y)落在G内的概率为:非负性标准性分布函数与概率密度的关系求区域上的概率注:一维连续型随机变量的几种常用分布可推广到二维及多维随机变量那么称(X,Y)服从均匀分布则称(X,Y)服从参数为的

则称(X,Y)服从的其中：为5个常数指数分布.正态分布.例3.设求:(1)分布函数落在G内的概率其中G:x+y=1及x轴、y轴所围区域解:当时时当当时当时从而得分布函数为：(2)画出G域图：G:以上讨论的关于离散型或连续型随机变量均可推广到n维(n>2)随机变量011从而得：n维随机变量：n维联合分布函数：为n维随机变量的联合分布函数.注意到(X,Y)是一个整体，它具有分布函数F(x,y)。而X,Y分别也是