模糊控制论理论基础

模糊控制论理论基础1第一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日目录3.1引言3.2模糊集合论基础3.4模糊控制系统的组成3.5模糊控制系统的设计3.6模糊PID控制器3.7模糊控制器的应用3.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2第二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊控制的发展历史1965年，L.A.Zadeh提出模糊集理论；1972年，L.A.Zadeh提出模糊控制原理；1974年，E.H.Mamdani应用于蒸汽机和锅炉控制中；80年代：污水处理、汽车、交通管理模糊芯片、模糊控制的硬件系统；90年代：家电、机器人、地铁；21世纪：更为广泛的应用。3第三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊控制的特点无需知道被控对象的数学模型与人类思维的特点一致模糊性经验性构造容易鲁棒性好4第四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日主要内容模糊控制的理论基础模糊集合论基础模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成模糊控制系统模糊控制系统的组成模糊控制系统的设计模糊PID控制器模糊控制器的应用5第五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日目录3.1引言3.2模糊集合论基础3.4模糊控制系统的组成3.5模糊控制系统的设计3.6模糊PID控制器3.7模糊控制器的应用3.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成6第六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.2模糊集合论基础3.3.1模糊集概念3.3.2模糊集合运算3.3.3模糊集合运算的基本性质3.3.4隶属度函数的建立3.3.5模糊关系7第七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日经典集合19世纪末德国数学家乔•康托(GeorageContor，1845-1918)，是现代数学的基础。内涵和外延都必须是明确的经典集合论表示方法特点列举法定义法归纳法特征函数法8第八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日表示方法列举法：U=｛1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10｝归纳法：U=｛ui+1=ui+1，i=1,2,9，u1=1｝特征函数法定义法：U=｛u|u为自然数且u<5｝表示方法9第九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日特征函数法用特征函数值表示元素属于集合的程度10第十页，共九十一页，编辑于2023年，星期日隶属度函数将特征函数值扩展为上取值的隶属度μF

（DegreeofMembership），描述思维和语言的模糊性。11第十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊集合(FuzzySets)1F={（u,μF(u))|u∈U}（离散域，序偶表示法）论域U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度μF来表示

（查德表示法）

（连续域）12第十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日支集(Support)模糊集合F的支集S是一个普通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即13第十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊单点(Singleton)如果模糊集合F的子集在论域U上只包含一个点u0,且μF(u0)=1,则F就称为模糊单点。即14第十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.2模糊集合论基础3.3.1模糊集概念3.3.2模糊集合运算3.3.3模糊集合运算的基本性质3.3.4隶属度函数的建立3.3.5模糊关系15第十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.3.2模糊集合的运算考察具有公共论域U的模糊集合A、B之间的各种运算关系，包括以下内容：相等、包含空集、全集交、并、补其他16第十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日相等、包含空集、全集对于所有的u∈U，均有μA(u)＝μB(u)。记作A=B。相等对于所有的u∈U，均有μA(u)≤μB(u)。记作AB。包含对于所有的u∈U，均有μA(u)＝0。记作：A＝

。空集对于所有的u∈U，均有μA(u)＝1。全集17第十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日交、并、补如果模糊集合C具有以下性质：对于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∧μB=min{μA(u),μB(u)}则称C为A与B的交集，记为C=A∩B

交集对于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∨μB=max{μA(u),μB(u)}

。则称C为A与B的并集，记为C=A∪B。并集对于所有的u∈U，均有μB(u)=1-μA(u)

则称B为A的补集，记作补集18第十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日举例已知模糊子集求19第十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日求解20第二十页，共九十一页，编辑于2023年，星期日代数积代数和有界和有界差有界积其它运算21第二十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.2模糊集合论基础3.3.1模糊集概念3.3.2模糊集合运算3.3.3模糊集合运算的基本性质3.3.4隶属度函数的建立3.3.5模糊关系22第二十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日幂等律结合律交换律分配律模糊集合运算的基本性质123第二十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日同一律零一律吸收律德·摩根律双重否认律模糊集合运算的基本性质224第二十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日与经典集合性质的比较基本性质完全相同模糊集运算不满足互补律25第二十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.2模糊集合论基础3.3.1模糊集概念3.3.2模糊集合运算3.3.3模糊集合运算的基本性质3.3.4隶属度函数的建立26第二十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日是一个关键问题是一个难题具有“模糊性”、经验性和主观性无统一的设计方法具有客观的原则隶属度函数的建立27第二十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日隶属度函数的常见形状1Z函数28第二十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日隶属度函数的常见形状2S函数29第二十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日隶属度函数的常见形状3Π函数30第三十页，共九十一页，编辑于2023年，星期日隶属度函数的设计原则1必须是凸模糊集合（呈单峰形）通常是对称和平衡的要遵从语意顺序、避免不恰当的重叠31第三十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日隶属度函数的设计原则2考虑重叠指数（一般取重叠率为0.2～0.6、或鲁棒重叠性0.3-0.7）32第三十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日举例重叠率=0重叠鲁棒性=0重叠率=5/35=0.143重叠鲁棒性＝3.5/10=0.25重叠率=10/33=0.333重叠鲁棒性=10/20=0.533第三十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日设计方法模糊统计法例证法专家经验法二元对比排序法34第三十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.2模糊集合论基础3.3.1模糊集概念3.3.2模糊集合运算3.3.3模糊集合运算的基本性质3.3.4隶属度函数的建立3.3.5模糊关系35第三十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊关系普通关系：表示元素之间是否关联。模糊关系：表示两个论模糊集合之间的关联程度，用其直积空间的隶属度函数表示。定义：所谓A，B两集合的直积

中的一个模糊关系R，是指以A×B为论域的一个模糊子集，序偶(a,b)的隶属度为μR(a,b)。36第三十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日多元关系二元关系多元关系：考察n个集合的直积

A1×A3...×An，其隶属度函数为：

μR(a1,a2,...,an)37第三十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊集合表示法举例 考查两个整数间的“大得多”的关系。设论域U=｛1，5，7，9，20｝。模糊关系的表示方法138第三十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊关系的表示方法2模糊矩阵表示法（适用于二元关系）其中39第三十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日笛卡尔积算子（算子）A1，A2，...，An的笛卡尔积是在积空间U1×U2×...×Un中的一个模糊集，其隶属度函数为：直积（极小算子）用μmin

表示

代数积：用μAP表示40第四十页，共九十一页，编辑于2023年，星期日例3-9考虑如下模糊条件语句 如果C是慢的，则A是快的。 其中C，A分别属于两个不同的论域U，V。其隶属度函数分别为： A=快=0/0+0/20+0.3/40+0.7/60+1/80+1/100； C=慢=1/0+0.7/20+0.3/40+0/60+0/80+0/100。求它们的直积和代数积。41第四十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日直积42第四十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日代数积43第四十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊关系的合成背景： 已知：IFATHENB，IFBTHENC 求：IFATHENC定义：如果R和S分别为笛卡尔空间U×V和V×W上的模糊关系，则R和S的合成是定义在笛卡尔空间U×V×W上的模糊关系，并记为RoS。其隶属度函数的计算方法有两种。44第四十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊关系的合成的隶属度函数计算上确界（Sup）算子下确界（Inf）算子：45第四十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日例3-10已知某家中子女与父母的长像相似关系R： 父母与祖父母的相似关系S：求：家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度。R父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.1046第四十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日解47第四十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日合成算子Sup-min的特性1分配率48第四十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日结合律包含转置运算不满足交换律合成算子Sup-min的特性249第四十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日目录3.1引言3.2模糊集合论基础3.4模糊控制系统的组成3.5模糊控制系统的设计3.6模糊PID控制器3.7模糊控制器的应用3.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成50第五十页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊逻辑模糊逻辑是研究含有模糊概念或带有模糊性的陈述句的逻辑。是不确定性推理的主要方法之一。是经典数理逻辑的推广。51第五十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.3.1二值逻辑3.3.2模糊逻辑的基本运算3.3.3模糊语言逻辑3.3.4模糊逻辑推理3.3.5模糊关系方程的解3.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成52第五十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日二值逻辑命题P中的元素可以赋予一个二元真值T(P)。在二元逻辑中，T(P)或者为1（真）或者为0（假）。设U是所有命题构成的论域，则T就是从这些命题（集合）中的元素u到二元值（0，1）的一个映射：T:u∈U→(0,1)53第五十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日名称符号意义析取“∨”“或”的意思合取“∧”“与”的意思否定“－”是对原命题的否定蕴涵“→”表示“如果...那么...”等价“”表示两个命题的真假相同，是“当且仅当”的意思命题联结词54第五十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成3.3.1二值逻辑3.3.2模糊逻辑的基本运算3.3.3模糊语言逻辑3.3.4模糊逻辑推理3.3.5模糊关系方程的解55第五十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊命题模糊命题是普通命题的推广。模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。56第五十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊逻辑补用来表示对某个命题的否定.，模糊逻辑合取模糊逻辑析取基本运算157第五十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊逻辑蕴含如P是真的，则Q也是真的，模糊逻辑等价模糊逻辑限界积各元素分别相减部分作为限界差。基本运算258第五十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊逻辑限界和模糊逻辑限界差各元素分别相加，比1小的部分作为限界和。各元素分别相减部分作为限界差。基本运算359第五十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日幂等律交换律结合律吸收律P∨P=P， P∧P=PP∨Q=Q∨P，P∧Q=Q∧PP∨(Q∨R)=(P∨Q)∨R,P∧(Q∧R)=(P∧Q)∧RP∨(P∧Q)=P，P∧(P∨Q)=P分配律P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R),

P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)基本定律160第六十页，共九十一页，编辑于2023年，星期日双否律交换律常数运算法则注意互补律在模糊逻辑中不成立基本定律261第六十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成3.3.1二值逻辑3.3.2模糊逻辑的基本运算3.3.3模糊语言逻辑3.3.4模糊逻辑推理3.3.5模糊关系方程的解62第六十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊语言逻辑模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。针对自然语言的模糊性；涉及概念：语言值语言变量语言算子63第六十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日语言值语言中与数值有直接联系的词，如长、短、大、小等，可以再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组。可以用模糊数来表示。所谓模糊数，指至少有一个元素u的隶属度值为1的模糊子集。举例：［个子高］=0.2/150+0.4/160+0.6/170+0.8/180+1/190+1/20064第六十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日语言变量用一个五元素的集合（X，T(X)，U，G，M）来表征。65第六十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日语言算子语气算子模糊化算子判定化算子66第六十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日语气算子表示语言中对某一个单词或词组的确定性程度。包括强化算子和淡化算子强化算子，如“很”、“非常”等淡化算子，如“较”、“稍微”等Hλ(A)=Aλ（A为语言值）67第六十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日如“大概”、“近似于”、“大约”等。把原来的概念模糊化。记模糊化算子为F。则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属度函数关系满足：其中，μR(x,c)是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线，即：模糊化算子68第六十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日判定化算子肯定化处理，例如“倾向于”、“大半是”等。记判定化算子为P，则判定化变换可表示为P(A)，并且它们的隶属度函数关系满足：当取α=1/2时，P1/2可用来表示“倾向于”。69第六十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日3.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成3.3.1二值逻辑3.3.2模糊逻辑的基本运算3.3.3模糊语言逻辑3.3.4模糊逻辑推理70第七十页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊逻辑推理不确定性推理方法的一种方法还在发展之中，比较典型的有扎德（Zadeh）方法、玛达尼（Mamdani）方法、鲍德温（Baldwin）方法、耶格（Yager）方法、楚卡莫托（Tsukamoto）方法。最常用的是玛达尼极大极小推理法。71第七十一页，共九十一页，编辑于2023年，星期日常见种类近似推理（常识性推理）广义肯定式推理广义否定式推理模糊条件推理多输入推理多输入多规则推理72第七十二页，共九十一页，编辑于2023年，星期日1.近似推理：广义肯定式推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果x是A＇，结论：y是隶属度函数的计算73第七十三页，共九十一页，编辑于2023年，星期日模糊关系矩阵R的计算采用Mamdani推理法模糊蕴含最小运算法模糊蕴含积运算法74第七十四页，共九十一页，编辑于2023年，星期日广义否定式推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果y是B＇，结论：x是隶属度函数的计算其中：

（Zadeh推理法）75第七十五页，共九十一页，编辑于2023年，星期日例3-14考虑如下逻辑条件语句：如果“转角误差远远大于15°”，那么“快速减少方向角”；其隶属度函数定义为：A=转角误差远远大于15°=0/15+0.2/17.5+0.5/20+0.8/23.5+1/25B=快速减少方向角 =1/-20+0.8/-15+0.4/-10+0.1/-5+0/0。求：当A＇=转角误差大约在20°时，方向角应该怎样变化？76第七十六页，共九十一页，编辑于2023年，星期日步骤1定义A＇=转角误差大约在20°的隶属度函数=0.1/15+0.6/17.5+1/20+0.6/23.5+0.1/25则问题化为 已知 μA(x)=[0,0.2,0.5,0.8,1], μB(y)=[1,0.8,0.4,0.1,0] 当μA＇(x)=[0.1,0.6,1,0.6,0.1]时, 求解B＇。77第七十七页，共九十一页，编辑于2023年，星期日步骤2由玛达尼（Mamdani）推理法计算出关系矩阵：78第七十八页，共九十一页，编辑于2023年，星期日步骤3计算代数积算子

直积算子79第七十九页，共九十一页，编辑于2023年，星期日代数积算子80第八十页，共九十