2021-2022学年广东省梅州市兴宁罗岗中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年广东省梅州市兴宁罗岗中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.<九章算术>是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为A. B. C. D.参考答案：B本题考查等差数列,数列求和.由题意得===.选B.【备注】等差数列:,.2.抛物线y=x2的准线方程是（） A．y=﹣1 B． y=﹣2 C． x=﹣1 D． x=﹣2参考答案：A略3.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A.

B.

C.

D．参考答案：D略4.已知曲线的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点成中心对称，若，则(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C【知识点】三角函数的图象与性质C3：∵曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=，∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．

∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，

∴2x0+=kπ，∴x0=-，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．【思路点拨】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．5.的值为（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：B6.已知数列{xn}满足xn﹣1﹣xn=d（n∈N*，n≥2，d为常数），且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】根据数列{xn}满足xn﹣xn﹣1=d，得到此数列为等差数列，由x1+x2+…+x20=80，利用等差数列的前n项和公式表示出前20项的和等于80，根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等，得到10（x5+x16）等于80，即可求出x5+x16的值．【解答】解：根据题意可知数列{xn}为等差数列，则x1+x2+…+x20==10（x1+x20）=10（x5+x16）=200，所以x5+x16=20．故选：B．7.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”。定义如下：对于任意两个复数，（，为虚数单位），“”当且仅当“”或“且”．下面命题为假命题的是（

）A．

B．若，，则C．若，则对于任意，D．对于复数，若，则参考答案：D略8.已知双曲线标准方程为，则双曲线离心率为A． B．3 C． D．参考答案：C9.设函数，则（

）A.f(x)有极大值 B.f(x)有极小值C.f(x)有极大值e D.f(x)有极小值－e参考答案：B【分析】利用导数求出函数的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.【详解】，定义域为，，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.10.某几何体的主视图与俯视图如图，主视图与左视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为

．参考答案：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1，所以原几何体的体积为。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015秋?太原期末）若向量=（cos15°，sin15°），=（cos75°，sin75°），则+与的夹角为．参考答案：30°【分析】利用单位圆作出图形，根据菱形的性质即可得出答案．【解答】解：∵=（cos15°，sin15°），=（cos75°，sin75°），=1，∴＜＞=60°，以为邻边的平行四边形为菱形，∴平分＜＞．∴+与的夹角为30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了平面向量加法的几何意义，数形结合的思想方法，属于基础题．12.若x，y满足约束条件则的最小值为_______．参考答案：3【分析】本题首先可以通过题目所给出的不等式方程组绘出图像，然后确定图像的三个顶点坐标，最后将其分别带入中即可得出最小值。【详解】如图所示，根据题目所给的不等式方程组绘出的图形可知，交点为、、，然后将其带入中可得，的最小值为3。【点睛】本题考查了线性规划的相关性质，解决本题的关键是能否根据题目所给条件画出可行域并在可行域中找出使目标函数取最值的点，考查数形结合思想，是简单题。13.已知实数x、y满足，则z=2x+y的最小值是．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】由线性约束条件画出可行域，根据角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由可得C（1，﹣1），此时z=1由可得B（1，5），此时z=7由可得A（﹣2，2），此时z=﹣2∴z=2x+y的最小值为﹣2故答案为：﹣214.的值为________.参考答案：1。15.能说明“若a＞b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.参考答案：1

－1（答案不唯一）分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的a，b，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组a，b的值为1，－1（答案不唯一）

16.计算

。参考答案：试题分析：因为，所以.考点：任意角的三角函数.17.如图，程序结束输出的值是______。参考答案：91三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某公司近年来产品研发费用支出x万元与公司所获得利润y之间有如下统计数据：x2345y18273235（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+（2）试根据（1）中求出的线性回归方程，预测该公司产品研发费用支出为10万元时所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求现象回归方程=x+==．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用已知条件求出回归直线方程的有关数据，即可求出回归直线方程．（2）代入回归直线方程，即可求出该公司产品研发费用支出10万元时，所获得的利润．【解答】解：（1）=3.5，=28，xiyi=420，﹣54．==5.6，=28﹣5.6×3.5=8.4．

…故所求线性回归方程为=5.6x+8.4；

…（2）当x=10时，=64.4（万元）．

…故预测该公司产品研发费用支出10万元时，所获得的利润约为64.4万元．

…19.已知.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）当时，当时，，故；当时，，故；当时，，故.综上所述，不等式的解集为.（Ⅱ），当和的符号相反时，等号成立.故.所以或.由得或，又，故；而无解，综上所述，.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式、恒成立的问题。绝对值是高考中的一个选做题。比较容易。20.（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102

52

41

121

72162

50

22

158

4643

136

95

192

5999

22

68

98

79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A0≤x＜402B40≤x＜809C80≤x＜120mD120≤x＜1603E160≤x＜200n（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）m=4，n=2，B；

…3分（Ⅱ）<，<；

…6分（Ⅲ）的可能取值为0，30，140，170，030140170 的数学期望为．

…13分

21.（本小题满分13分）已知，当时，．（1）证明；（2）若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式．参考答案：（1）时

……………………4分（2）由得到

……………………5分

又时

即

将代入上式得

又

……………………8分又

时对均成立为函数为对称轴

………………10分

又

………………12分

………………13分22.（13分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题： 计算题；证明题；压轴题．分析： （1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，根据≥（a﹣c）求得e的范围．（3）设直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．解答： 解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜