广东省深圳市市南山中英文学校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

广东省深圳市市南山中英文学校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数为偶函数(0＜θ＜π)其图象与直线y＝2的交点的横坐标为的最小值为π，则

（

）A．ω＝2，θ＝

B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝

D．ω＝2，θ＝参考答案：A略2.已知函数的最大值为2，则的最小正周期为

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：Ｃ3.（5分）已知F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点A（0，b），过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，求出AF的方程与y=x，联立可得B，利用，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．解：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，则直线AF的方程为，与y=x联立可得B（，﹣），∵，∴（c，﹣b）=（+1）（，﹣﹣b），∴c=（+1），∴e==，故选：A．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数==（1+2i）（1+i）=﹣1+3i，则z的共轭复数=﹣1﹣3i在复平面内对应点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：D．5.若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：x﹣y+b=0的距离为，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣10，10] C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离d=≤，∴﹣2≤b≤2，∴b的取值范围是[﹣2，2]，故选A．6.i为虚数单位，A．1

B．

C．i

D．参考答案：B7.下图所示的程序框图的功能是（

）A．寻找使成立的的最小正整数值B．寻找使成立的的最小正整数值C．寻找使成立的的最小正整数值D．寻找使成立的的最小正整数值参考答案：8.已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：9.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是(

)A.[,] B.[,3] C.[-1,] D.[,3]参考答案：D略10.已知函数,函数的最大值是2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于直线对称，则下列判断正确的是(

)A.要得到函数f(x)的图象，只需将的图像向左平移个单位B.时，函数f(x)的最小值是-2C.函数f(x)的图象关于直线对称D.函数在上单调递增参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量x,y满足约束条件其中k(I)当k=1时的最大值为______；(II)若的最大值为1，则实数的取值范围是_____.参考答案：12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，点E在棱AB上，点F在棱C1D1上，且平面B1CF∥平面A1DE，若AE=1，则三棱锥B1﹣CC1F外接球的表面积为．参考答案：19π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据平面B1CF∥平面A1DE，得到C1F=AE=1，再求出三棱锥B1﹣CC1F外接球直径，问题得以解决．【解答】解：当C1F=AE=1时，可得CF∥A1E，又A1D1∥B1C，且CF∩B1C=C，∴平面B1CF∥平面A1DE，∴三棱锥B1﹣CC1F外接球的直径为=，其表面积为（）2π=19π，故答案为：19π【点评】本题主要考查了正方体和三棱锥的几何体的性质以及球的表面积公式，属于基础题．13.过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为

。参考答案：略14.设若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围是

.参考答案：试题分析：由已知若存在实数，使得函数有两个零点，则函数不是单调函数，数形结合可知当时，函数是单调递增的，故要使有两个零点，则或考点：函数的性质、函数与方程15.若复数为虚数单位），则

．参考答案：

16.（文）已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=________参考答案：2或517.设常数展开式中的系数为，则

。参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图5

参考答案：【解】(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

略19.设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（1）求a；（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；5B：分段函数的应用．【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值．【解答】解：（1）x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1≥2；﹣2＜x＜0时，f（x）=﹣x+1∈（1，2）；x≥0时，f（x）=x+1≥1∴f（x）的最小值为1，即a=1；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．20.（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=2，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，∴MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=5．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF==∴sin∠ANF==．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．21.(本小题满分14分)设向量，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求使不等式成立的的取值集合．参考答案：

22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直接消去直线l的参数可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程带入C的直角坐标方程；设出A，B两点的参数，利用韦达定理建立关系求解最值即可．【解答】解：（1）直线l的参数