2020学年新人教版必修一542正弦函数余弦性质二课件

联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师5.4必.2备资料正一键弦转函存，数自动、更余新，弦一劳函永数逸的性质(二)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854无法显示该图片。1.正弦、余弦函数的最值正弦曲线:余弦曲线:可得如下性质:由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,值域都是[-1,1].对于正弦函数y=sin

x,x∈R有:当且仅当

x=p

+2kπ,k∈Z时,取得最大值1;22对于余弦函数y=cos

x,x∈R有:当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1;当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1.当且仅当x=-p

+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.【思考】

(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么?提示:正弦、余弦函数的定义域为R,值域为[-1,1].(2)从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置?提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方.2.正弦、余弦函数的单调性2(1)正弦函数y=sin

x的增区间为2kp-p,2kp+p

(k∈Z);

2

(k∈Z)

.2减区间为2kp+p,2kp+3p

2

(2)余弦函数y=cos

x的增区间为2kp－p，2kp

(k∈Z);减区间为2kp，2kp＋p

(k∈Z).【思考】广到整个定义域呢?2(1)正弦函数在－p，3p2

上函数值的变化有什么特点?推提示:观察图象可知:当x∈－p，p

时,曲线逐渐上升,是增函数,sin

x的值2 2

由-1增大到1;当x∈

p，3p

时,曲线逐渐下降,是减函数,sin

x的值

2

2

由1减小到-1.推广到整个定义域可得y=sin

x是增函数,函数值由-1增大到1;函数,函数值由1减小到-1.2

2p当x∈

－p＋2kp，p＋2k

(k∈Z)时,正弦函数2p

2当x∈

p＋2kp，3p＋2k

(k∈Z)时,正弦函数y=sin

x是减(2)余弦函数在[-π,π]上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢?提示:观察图象可知:当x∈[-π,0]时,曲线逐渐上升,是增函数,cos

x的值由-1增大到1;当x∈[0,π]时,曲线逐渐下降,是减函数,cos

x的值由

1减小到-1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z时,余弦函数y=cos

x是增函数,函数值由-1增大到1;当x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z时,余弦函数y=cosx是减函数,函数值由1减小到-1.【素养小测】)1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)y=sin

x在(0,π)上是单调递增的.

(cos

1>cos

2>cos

3.

(

)(3)函数y=-

1

sin

x,x∈

0，p

的最大值为0.

(

)2

2

2【解析】(1)×.y=sin

x在

(0，p)

上是单调递增的,在(p，p)上是单调递减的.2(2)√.y=cos

x在(0,π)上是单调递减的,且0<1<2<3<π,所以cos

1>cos

2>cos

3.

2

(3)√.函数y=-

1

sin

x在x∈0，p

上是单调递减的,2故当x=0时,y=-1

sin

x取最大值0.22.在下列区间中,使函数y=sin

x为增加的是

(

)2

2A．[0，p]C．－p，pB．

p，3p

2 2

D．[p，2p]【解析】选C.根据正弦曲线可知答案选C.增的是

(

)A.y=sinB.y=sin

xC.y=cos

2xD.y=-cos

2x23.下列函数中,以π为周期且在区间(0，p)上是单调递【解析】选D.由周期为π,排除A,B.又y=cos

2x易求递,k∈Z,从而C不正确.2增区间为2kp-

p,

2k

p类型一 正弦、余弦函数的单调性A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2xp

2【典例】1.下列函数,在p，

上单调递增的是(

)上单调递增,则a的取值2.函数y=cos

x在区间范围是

.调递增区间. 世纪金榜导学号－p，a

4

3.已知函数f(x)=

2

sin

2x＋p

+1,求函数f(x)的单【思维·引】1.画出正弦曲线,余弦曲线,找出答案.上单调递减,从而求出a的范围.2.确定a的范围:要求y=cos

x在区间－p，a上单调递增,－p，0又因为y=cos

x在区间 上单调递增,在区间

0，p4递增区间.3.确定增区间:令u=2x+p

即可求y=2

sin

u的单调p

2≤x≤π,所以【解析】1.选D.因为y=sin

x与y=cos

x在

p，

上都2单调递减,所以排除A,B.因为

pπ≤2x≤2π.因为y=sin

2x在2x∈p，2p

内不具有单调性,所以排除C.答案:(-π,0]2.因为y=cos

x在

－p，0

上单调递增,在

0，p

上单调递减,所以只有-π<a≤0时满足条件,故a∈(-π,0].43.令u=p+2x,函数y=

2sin

u的单调递增区间为2

2－p＋2kp，p＋2k

p24,k∈Z,由-p

+2kπ≤2x+p

≤p

+2kπ,k∈Z8所以函数f(x)=82得-3p

+kπ≤x≤p

+kπ,k∈Z.

4

2

sin

2x＋p

+1的单调递增区间是83p

p－

8

＋kp，

＋kp

,k∈Z.【内化·悟】1.怎样在固定区间上求三角函数的单调性?提示:先画出三角函数的图象,再找出题目给出的区间,判断单调性.2.求复合函数的单调性,关键注意什么?提示:求复合函数的单调性,先找出子函数、主函数、原函数,根据“同增异减”的原则判断单调性.【类题·通】求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,b为常数)的函数的单调区间

(1)数形结合法:可以借助于正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间,通过解不等式求得.(2)整体代换法:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当

A<0,ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.【习练·破】的单调增区间.

6

求函数f(x)=2cos

2x－p

是612【解析】令-π+2kπ≤2x-p

≤2kπ,k∈Z,解得-5p+kπ≤x≤p

+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间1212

12－5p＋kp，p

＋k

(k∈Z).p12

12p答案:

－5p＋kp，p

＋k

(k∈Z)【加练·固】

3

求函数y=3sin

p－2x

的单调递减区间.【解析】因为y=3sin

p

3－2x

3

=-3sin

2x－p

,

3

所以y=3sin

2x－p

单调递增时,

3

y=3sin

p－2x

单调递减.(k∈Z).2p+2kπ,即因为函数y=sin

x在

－p＋2kp，p＋2k

(k∈Z)上单调递增,所以-p

+2kπ≤2x-32

22p

≤

p-

p

+kπ≤x≤

5p

+kπ(k∈Z),12

12

3

所以函数y=3sin

p－2x

的单调递减区间为12

12－

p

＋kp，5p＋k

p类型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小【典例】1.

下列关系式中正确的是

(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°2.比较下列各组数的大小.世纪金榜导学号(2)sin

196°与cos

156°.18

(1)sin

－p

与sin

p

.10

－5

4

(3)cos

－23

p

与cos

－17

p

.【思维·引】先利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.【解析】1.选C.cos

10°=sin

80°,sin

168°=sin

12°.sin

80°>sin

12°>sin

11°,即cos

10°>sin

168°>sin

11°.2

10

18

22.(1)

-

p＜-

p

＜－

p

＜p，18

10

所以sin

－

p

>sin

－

p

.(2)sin

196°=sin(180°+16°)=-sin

16°,cos

156°=cos(180°-24°)=-cos

24°=-sin

66°,因为0°<16°<66°<90°,所以sin

16°<sin

66°,从而-sin

16°>-sin

66°,即sin

196°>cos

156°.5

55

54

4

p4

(3)

cos－23

p＝cos

23

p＝cos

4p＋3

p＝cos

3

p，cos－17

p＝cos17

p＝cos

4p＋p

＝cos

.4因为0＜p＜3

p＜p，且y＝cos

x在[0，p]上是减函数，4

55

454

所以cos

3

p＜cos

p，即cos－23

p＜cos－17

p.【内化·悟】1.怎样利用诱导公式把三角函数式化简?提示:利用诱导公式一～六进行化简,大角化小,负角化正,奇变偶不变,符号看象限.2.利用三角函数曲线比较大小时,不同名函数能否比较大小?提示:可以,对于不同名的三角函数式,运用公式五、六,化为同名三角函数,再比较大小.【类题·通】三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转2 2

2

2

化到

－p，p或

p，3p

内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到－p，0

或0，p

内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.【习练·破】比较下列各组数的大小..(2)sin

194°与cos

160°.

8

(1)cos

－p

与cos13p

7所以cos

8

8【解析】(1)cos

－p

=cos

p7

7

,cos

13p

=cos

2p－p

7

7=cos

－p

=cos

p

.8

因为0<p

<7p

<π,且y=cos

x在(0,π)上单调递减,87

8

7p

>cos

p

,即cos

－p

>cos

13p

.(2)sin

194°=sin

(180°+14°)=-sin

14°,cos

160°=cos(180°-20°)=-cos

20°=-sin

70°.所以sin

70°>sin

14°,即-sin

14°>-sin

70°.故sin

194°>cos

160°.

2

因为0°<14°<70°<90°且y=sin

x在

上

0，单p

调递增,【加练·固】已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是

(

)A.sin

α<sin

β B.cos

α<sin

βC.cos

α<cos

β D.cos

α

>cos

β【解析】选B.因为α,β为锐角三角形的两个内角,所=sin

β.

2

22

2

2

以α+β>p

,α>p

-β,α∈

0，p

,p

-β∈

0，p

,

2

所以cos

α<cos

p－b类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题角度1 正弦函数、余弦函数的值域问题学号

3

此时自变量的取值集合为

. 世纪金榜导【典例】函数y=3-4cos

2x＋p

的最大值为

,取最小值-1时的自变量x的值.

3

【思维·引】根据余弦函数的性质,求出当cos

2x＋p

答案:733【解析】当2x+p

=π+2kπ,k∈Z时,即当2x=2p

+2kπ,3所以ymax=3-(-4)=7.

3

k∈Z,当x=

p

+kπ,k∈Z时,cos

2x＋p

=-1,px

x

= +

kp,

k

˛

Z3【素养·探】求三角函数的最值时,经常利用三角函数的性质求最值;此时计算中要特别注意自变量的有效性.求函数的最大、最小值及相应的x值.

3

3 6

将本例条件改为:y=3-4cos

2x＋p

,x∈

－p，p

,max【解析】因为x∈

－p，p

,所以2x+3 6

33

3

p

∈

－p，2p

,2

3

3

从而-

1

≤cos

2x＋p

≤1.所以当cos

2x＋p

=1,3

6即2x+p

=0,x=-p

时,ymin=3-4=-1.

3

23

36当cos

2x＋p

=-

1

,即2x+

p

=

2p

,x=

p

时,y =3-4×(-

1

)

=5.2综上所述,当x=-p

时,ymin=-1;当x=p

时,ymax=5.6

6x+Bsin

x+C或y=Acos2

x+角度2 形如y=Asin2Bcos

x+C型最值问题【典例】函数y=cos2

x+2sin

x-2,x∈R的值域为

.【思维·引】先用平方关系转化,即cos2x=1-sin2x,再将sin

x看作整体,转化为二次函数的值域问题.【解析】y=cos2x+2sin

x-2答案:=-sin2x+2sin

x-1=-(sin

x-1)2.因为-1≤sin

x≤1,所以-4≤y≤0,所以函数y=cos2

x+2sin

x-2,x∈R的值域为

－4,

0

.－4,

0【内化·悟】将三角函数y=asin2x+bsinx+c(a≠0)通过换元转化为二次函数y=at2+bt+c问题时,哪些地方易出错?提示:三角函数问题转化为二次函数时,要特别注意①一次项和二次项必须同名;②换元时必须求出新元的取值范围.角度3 三角函数在固定区间上求值域问题域. 世纪金榜导学号6 6

3

【典例】已知x∈－p，p

,求函数y=2cos

2x＋p

+1的值3再根据余弦函数的单调性,求出函数的值域.【思维·引】根据x的范围,