【冀教版】初二数学上册《专训2-巧用勾股定理求最短路径的长》

专训2巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算、比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中的最短问题1．如图，A，B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．(第1题)用平移法求平面中的最短问题2．如图，小明在广场上先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向东走70m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________．(第2题)(第3题)3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．用对称法求平面中的最短问题4．某岛争端持续，我国海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国海监船行驶的路程BC的长．(第4题)5．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短．求这个最短距离．【导学号：42282077】(第5题)用展开法求立体图形中的最短问题eq\a\vs4\al(类型1)圆柱中的最短问题6．如图，已知圆柱体底面圆的半径为eq\f(6,π)，高为8，AB，CD分别是两底面的(第6题)直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是________．eq\a\vs4\al(类型2)圆锥中的最短问题7．如图，观察图形解答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的图形，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．【导学号：42282078】(第7题)eq\a\vs4\al(类型3)长方体中表面的最短问题8．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．(第8题)eq\a\vs4\al(类型4)长方体容器壁的最短问题9．有一个如图所示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长．(第9题)答案1．解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2002＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形．(2)甲方案所修的水渠较短．因为△ABC是直角三角形，由题可知∠ACB＝90°，CH⊥AB，所以△ABC的面积＝eq\f(1,2)AB·CH＝eq\f(1,2)AC·BC.所以CH＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(160×120,200)＝96(m)．因为AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC<CH＋AH＋BH，所以甲方案所修的水渠较短．2．100m点拨：如图，作AC⊥BC于C，连接AB.因为AC＝40＋40＝80(m)，BC＝70－10＝60(m)，所以AB2＝602＋802＝1002，则AB＝100m.(第2题)3．104．解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线与OA交于点C，C点即为所求．(2)连接BC，设BC＝x海里，则CA＝x海里，在Rt△OBC中，BO2＋OC2＝BC2，∴152＋(45－x)2＝x2.解得x＝25.∴我国海监船行驶的路程BC的长为25海里．(第4题)5．解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A，B两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km.所以AC2＝AD2＋DC2＝100，所以AC＝10km.所以这个最短距离为10km.(第5题)6．10点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC，如图所示．线段AC就是小虫爬行的最短路程．根据题意，得AB＝eq\f(6,π)×2π×eq\f(1,2)＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102.所以AC＝10.(第6题)7．解：(1)圆锥(2)扇形(3)能．把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125.即AC＝5eq\r(5)，故蜗牛爬行的最短路程为5eq\r(5).(第7题)8．解：小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃蜜糖的较短路径可分为三种情况：情况一：如图①，连接EC，在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC2＝202＋152＝625，EC＝25cm.(第8题)情况二：如图②，连接EC.由勾股定理，得EC2＝122＋(8＋15)2＝673.情况三：如图③，连接EC.由勾股定理，得EC2＝82＋(12＋15)2＝793.因为625＜673＜793，所以，小虫爬行的最短路程是25cm.9．解：(1)如图所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，连