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文档简介
§11.2
偏导数1.偏导数的概念(1)偏导数的定义及计算若函数z
=f
(x,y)在点P(x,y)处关于变量x有增量Dx,则称f(x
+Dx,y)-f(x,y)为f(x,y)在点P(x,y)处关于x的偏增量,记为D
x
f
(x,y).则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0
,y0
)处关于x的偏导数,记为,
,(
x0
,
y0
) (
x0
,
y0
)¶x
¶x¶z
|
¶f
|f
x
(x0
,
y0
),zx
(
x0
,
y0
),
fx
(x0
,
y0
),
zx
(
x0
,
y0
).Dy¶y¶zf
(x0
,
y0
+
Dy)
-
f
(x0
,
y0
)Dyfi
00
0类似，|(x
,y
)=limDx
Dx定义:设函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的某邻域内有定义,若lim
D
x
z
=
lim
f
(x0
+
Dx,
y0
)
-
f(x0
,
y0
)
存在,Dxfi
0Dxfi
0偏导函数简称为偏导数.yx
y
x¶x
¶y¶z
,
¶z
,
f
¢,
f
¢,
f
,
f且fx
(x0
,y0
)=f
x
(x,y)|(x
,y
)0
0可类似定义二元以上多元函数的偏导数.(2)
偏导数的几何意义oxyz
=
f
(x,
y)xcxT0MaM
0
(x0
,y0
,f(x0
,y0
))是曲面z
=f
(x,y)上的一点,z
=f
(x,y0
)是曲面z
=f(x,y)与平面y
=y0的交线,z0z
=
f
(x,
y)即
y
=y,
此为曲线Cx
,ddx0
x=x0fx
(x0
,
y0
)
=
f
(x,
y
)
|是曲线Cx在点M
0处的切线Tx关于x轴的斜率tan
a
.z
=f
(x0
,y)是曲面z
=f
(x,y)与平面x
=x0的交线,oxyzz
=
f
(x,
y)ycTy
b
M
0,0x=
xz
=
f
(x,
y)C
:yy
0
0dy0
y
=
y0f
(x
,
y
)
=
d
f
(x
,
y)
|x
=
x,
y
=
y0
,
z
=
f
(
x,
y0
),是曲线Cy在点M
0处的切线Ty关于y轴的斜率tan
b.Tx的方程？Cx方程可写成1
0
f
x
(x0
,
y0
)xx
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
f
(x0
,
y0
)T
方程:对于二元函数z
=f
(x,y),(3)
简单多元函数偏导数的求法¶x一元函数的求导法则和求导公式对多元函数的偏导数仍然适用.¶y求
¶z
时把
y
看作常数,
而求
¶z
时把
x
看作常数.23(1,1,1)+
+
)
|¶u
¶u
¶u¶x
¶y
¶z例2
设u
=
ln(1+
x
+
y+2z
),计算((3,4)¶x
¶y例1
设z
=x
+y
-x2
+y2
,求¶z
及¶z
|xx2
+
y2¶x解:¶z
=1-(3,4)(3,4))
|yx2
+
y2=
(1-¶z
|¶y5=
12223
)
|(1,1,1)6z
22
y1+
x
+
y
+
2z3
+1+
x
+
y
+
2z3
+1+
x
+
y
+
2z=
((1,1,1)¶x
¶y
¶z1解: (
¶u
+
¶u
+
¶u
)
|=
95¶V
¶T¶T
¶P确定了三个函数,计算¶P¶V例3
理想气体的状态方程PV
=
RT
(其中R为常数)¶V
¶V
VV
2解:
¶P
=
¶
(
RT
)
=
-
RT¶V
=
¶
(
RT
)
=
R¶T
¶T
P
P¶T
=
¶
(
PV
)
=
V¶P
¶P
R
R¶P
¶V
¶T
=
-
RT¶V
¶T
¶PV
2R
V
=
-
RT
=
-1P
R
PV¶x¶z
是函数z
=f
(x,y)在x
轴方向的变化率,¶z
是函数z
=f
(x,y)在y
轴方向的变化率.¶y在一元函数中,可导必连续,而在多元函数中不再成立.这是因为偏导数存在仅保证函数沿着平行于坐标轴的方向连续.¶x
dx¶x注:
记号
¶
与
d
不可混淆,
偏导数记号
¶
是一个整体记号,¶z
不能象一元函数时的dz
那样看作微商.¶x
dxxDxfi
02
2xy,
x2
+
y2
„
0x
+
y例4
f
(x,
y)
=Dx
DxDxfi
00,
x2
+
y2
=
0考察f
(x,y)在点(0,0)处的偏导数.解:
f
(0,0)
=
lim
f(0
+
Dx,0)
-
f
(0,0)
=
lim
0
-
0
=
0Dy
Dyf
(0,0)
=
lim
f
(0,0
+
Dy)
-
f
(0,0)
=
lim
0
-
0
=
0Dyfi
0Dyfi
0ylim由于函数f
(x,y)在点(0,0)处的二重极限yfi
0xfi
0
x2
+
y2)kxy
xy1+
k
2=x2
+
y2不存在
(
limxfi
0y
=kxfi
0所以尽管函数f
(x,y)在点(0,0)处的两个偏导数fx
(0,0),f
y
(0,0)都存在,但f
(x,y)在点(0,0)处不连续.函数f
(x,
y)
=
x2
+
y2
在点(0,0)处连续,但在点(0,0)处的偏导数不存在.DxDxfi
0不存在lim
f(0
+
Dx,0)
-
f
(0,0)
=
lim
DxDxfi
0
Dx不存在Dylim
f
(0,0
+
Dy)
-
f
(0,0)
=
lim
DyDyfi
0
DyDyfi
02.全微分的概念(1).全微分的概念一元函数y
=f
(x)Dy
=
f
(x
+
Dx)
-
f
(x)
=
f
(x)Dx
+
o(Dx)dy
=
f
¢(x)Dxdy有两个特性:dy与自变量的增量Dx成比例;当自变量的增量Dx
fi
0时,Dy
-dy
=o(Dx).定义:设二元函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的某邻域内有定义,若z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的全增量Dz
=
f
(
x0
+
Dx,
y0
+
Dy)
-
f
(x0
,
y0
)可以表示为Dz
=ADx
+BDy
+o(r),o(r)是r
fi
0时比r高阶的无穷小,(Dx)2
+
(Dy)2
,其中A,B与Dx,Dy无关,r
=则称z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)处可微,并称Dz的线性主部ADx
+BDy为函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)处的全微分,记为dz
或df
(x0
,y0
),即dz
=ADx
+BDy.问题:
(i).
A
=
?
B
=
?可微与连续的关系可微与可偏导的关系(2).可微的必要条件定理1(可微的必要条件之一)若函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)处可微,则f
(x,y)在点(x0
,y0
)处连续.证:
Dz
=
ADx
+
BDy
+
o(r),lim
Dz
=
lim[
ADx
+
BDy
+
o(r)]
=
0,Dxfi
0Dyfi
0Dyfi
0Dxfi
0\函数f
(x,y)在点(x0
,y0
)处连续.定理2(可微的必要条件之二)若函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)处可微,则fx
(x0
,y0
)与f
y
(x0
,y0
)都存在,且A
=fx
(x0
,y0
),B
=f
y
(x0
,y0
).证:Dz
=f
(x0
+Dx,y0
+Dy)-f
(x0
,y0
)=
ADx
+
BDy
+
o(r)代入Dy
=0,有r
=Dx
,得f
(x0
+Dx,y0
)-f
(x0
,y0
)=ADx
+o(Dx
),f
(x0
+
Dx,
y0
)
-
f
(x0
,
y0
)
=
A
+
o(
Dx
)Dx
DxDxDxfi
0x
0
0令Dx
fi
0,
有f
(
x
,
y
)
=
lim[
A
+
o(
Dx
)]
=
A同理可证f
y
(x0
,y0
)=B二元函数z
=f
(x,y)dz
=
ADx
+
BDy=
f
x
(x0
,
y0
)Dx
+
f
y
(x0
,
y0
)Dy=
fx
(x0
,
y0
)dx
+
f
y
(x0
,
y0
)dy若f
(x,y)在区域D内每一点都可微,则称f(x,y)在D内可微.dz
=
fx
(x,
y)
dx
+
f
y
(x,
y)
dy22xy,
x2
+
y2
„
0x
+
yx2
+
y2
=
00,例5
讨论函数f
(x,y)=在点(0,0)处的可微性.解:
lim
f
(x,y)不存在,xfi
0yfi
0\函数f
(x,y)在点(0,0)处不连续,于是函数f
(x,y)在点(0,0)处不可微.在一元函数中,可微与可导等价,在二元函数中不再成立.定理2
说明可微必可偏导,上述例子说明反之不然.可偏导仅是可微的必要条件.(3)
可微的充分条件定理3(可微的充分条件)若函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的偏导数fx
(x,y),f
y
(x,y)存在且连续,则z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)处可微.证:Dz
=f
(x0
+Dx,y0
+Dy)-f
(x0
,y0
)=[
f
(x0
+
Dx,
y0
+
Dy)
-
f
(x0
,
y0
+
Dy)]+[
f
(x0
,
y0
+
Dy)
-
f
(x0
,
y0
)]=
fx
(x0
+q1Dx,
y0
+
Dy)Dx
+
f
y
(x0
,
y0
+q2Dy)Dy(0
<
q1,q2
<1)由
fx
,
f
y
在点(
x0
,
y0
)
处连续,Dxfi
0Dyfi
0得
lim
fx
(x0
+q1Dx,
y0
+
Dy)
=
fx
(x0
,
y0
)
,Dyfi
0Dxfi
0lim
f
y
(x0
,
y0
+q2Dy)=
f
y
(x0
,
y0
).于是fx
(x0
+q1Dx,y0
+Dy)=fx
(x0
,y0
)+a
,f
y
(
x0
,
y0
+q2Dy)
=
f
y
(x0
,
y0
)
+
b
,其中当Dx
fi
0,Dy
fi
0
时,有a
fi
0,b
fi
0.Dz
=
f
x
(x0
,
y0
)Dx
+aDx
+
f
y
(x0
,
y0
)Dy
+
bDy0
£
aDx
+
bDy
£
a
+
b(Dx)2
+(Dy)2(Dx)2
+(Dy)2aDx
+
bDy
=
o(Dx)2
+(Dy)2即Dz
=f
x
(x0
,y0
)Dx
+f
y
(x0
,y0
)Dy
+o\函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)处可微.定理3
给出了函数可微的一个充分条件.这个条件对于我们研究的绝大部分函数来说,都是满足的.(1,2)例6
设z
=
x4
y3
+
2x,
求
dz
及
dz
|
.解: dz
=
¶z
dx
+
¶z
dy¶x
¶y=
(4x3
y3
+
2)dx
+
3x4
y2dydz
|(1,2)
=
34dx
+12dy二元函数的这些结论可以推广到三元及三元以上的多元函数.2例7
求
u
=
x
+sin
y
+
eyz
的全微分
du.解: du
=
¶u
dx
+
¶u
dy
+
¶u
dz¶x
¶y
¶zyzyz1
y2=
dx
+cos
+
zedy
+
ye
dz
21在点(0,0)的可微性及偏导数fx
(x,y),f
y(x,y)在点(0,0)处的连续性.0,, (
x,
y)
„
(0,0)(
x,
y)
=
(0,0)x2
+
y2(x2
+
y2
)
sin例8
讨论函数z
=f
(x,y)=xDxf
(0,0)
=
lim
f
(0
+
Dx,0)
-
f(0,0)Dxfi
0解:Dx(Dx)2(Dx)2
sin
1
=
limDxfi
0=
0yDyf
(0,0
+
Dy)
-
f
(0,0)f
(0,0)
=
limDyfi
021=
0Dy(Dy)2
sin(Dy
)=
limDyfi
0当(x,y)„(0,0)时，1cos12xxx2
+
y2x2
+
y2-x2
+
y2f
(x,
y)
=
2x
sin-0,1cos1,
(x,
y)
„
(0,0)(x,
y)
=
(0,0)x2
+
y2x2
+
y22xx2
+
y22x
sin\
fx
(x,
y)
=
同理1cos12
yy-f
(x,
y)
=
2
y
sin当(x,y)„(0,0)时，-0,1cos,
(x,
y)
„
(0,0)(x,
y)
=
(0,0)x2
+
y2x2
+
y2x2
+
y2
x2
+
y2
x2
+
y21 2
yx2
+
y22
y
sinf
y
(x,
y)
=
不存在2
21-
1
cos12x
x
2x
而
lim
f
(x,
y)
=
lim
2x
sinxfi
0
xxfi
0y
=xfi
0故二重极限lim
fx
(x,y)不存在xfi0yfi
0因此fx
(x,y)在点(0,0)处不连续同理可得f
y
(x,y)在点(0,0)处也不连续(Dx)2
+(Dy)2lim
Dz(0,0)
-[
fx
(0,0)Dx
+
f
y
(0,0)Dy]Dxfi
0Dyfi
0(Dx)2
+(Dy)2[(Dx)2
+(Dy)2
]sin
1
(Dx)2
+(Dy
)2=
limDxfi
0Dyfi
0=
02
2即Dz(0,0)
=
f
x
(0,0)Dx
+
f
y
(0,0)Dy
+
o(
(Dx)
+(Dy)
)故函数f
(x,y)在点(0,0)处可微.因此函数可微时,偏导数不一定连续.若函数z
=f
(x,y)在点(x0
,y0
)的某邻域内有定义,3.全微分在近似计算中的应用¶x
¶y在此邻域内
¶z
,
¶z
连续,
且
Dx
,
Dy
<<1
,则Dz
»dz
=fx
(x0
,y0
)Dx
+f
y(x0
,y0
)Dy而Dz
=f
(x0
+Dx,y0
+Dy)-f(x0
,y0
)故
f
(
x0
+
Dx,
y0
+
Dy)»
f
(
x0
,
y0
)
+
fx
(x0
,
y0
)Dx
+
f
y(x0
,
y0
)Dy(1)
函数值的近似计算例9
计算1.022.02
的近似值.解:令f
(x,y)=x
y
,求f
(1.02,2.02)的近似值.f
(1.02,2.02)
»
f
(1,2)
+
fx
(1,2)
(1.02
-1)
+
f
y
(1,2) (2.02
-
2)其中f
(1,2)
=1,y
-1f
x
(1,2)
=
yx
|(1,2)
=
2,yf
y
(1,2)
=
x
ln
x
|(1,2)
=
0,1.022.02
=
f
(1.02,2.02)
»1.04(2)
函数增量的近似计算及误差估计例10
有一厚度为0.1cm
,内高为
20cm
,内半径为4cm的无盖圆桶,
试求桶体体积的近似值.解:V
=p
r
2
hr
:
4cm
fi
4.1cmh
:
20cm
fi
20.1cm全增量DV
=p
(r
+Dr)2
(h
+Dh)-p
r
2h全微分dV
=
2p
rhDr
+p
r
2
DhDV
»
dV
=
(2prhDr
+pr
2Dh)
|r
=4,h=20,Dr
=Dh=0.1=17.6p
»
55.3(cm3
)4.方向导数及梯度oxyPlelb
aP0的变化率.(1)方向导数许多实际问题中需要知道多元函数在一点处沿某一特定方向变化时0定义:当P沿射线l无限趋近于P
(即r
fi
0+)时,点P(x0
+r
cosa
,y0
+r
cos
b)是l上的任意一点,P0与P两点间的距离为P0
P
=r,设函数z
=z(x,y)在点P0
(x0
,y0
)的某邻域内有定义,自点P0沿向量el
=
{cosa
,
cos
b}的方向引一条射线l,它与x轴正向的夹角为a
,与y轴正向的夹角为b,如果极限rlim
z(x0
+r
cosa
,y0
+r
cos
b)-z(x0
,y0
)存在,rfi
0+P0记为¶z
|¶l则称此极限值为函数z=z(x,y)在点P0
(x0
,y0
)处沿方向l
的方向导数,定理4:P0P0
P0其中cosa
,cos
b是l方向的方向余弦.cosa
+
¶z
| cos
b,=
¶z
|且¶z
|¶l
¶x
¶y若函数z
=z(x,y)在点P0
(x0
,y0
)处可微,则z(x,y)在点P0沿任一方向的方向导数都存在,P0P0Dy
+
o(r)¶yDx
+
¶z
|¶x=
¶z
|证:由可微,得Dz
=
z(
x0
+
Dx,
y0
+
Dy)
-
z(x0
,
y0
)P0Dy
+
o(r)r
rDx
+
¶z
|r
¶x
P0
r
¶yDz
=
¶z
|P0P0cos
b
+
o(r)r¶ycosa
+
¶z
|¶x=
¶z
|cos
bP0P0P0¶ycosa
+
¶z
|¶x=
¶z
|令r
fi
0+,有¶z
|¶l(1,0)¶l求函数在点(1,0)处的方向导数¶z
|
.例11
设z
=xe2
y
,射线l的方向余弦为cosa与cos
b,(1,0)(1,0)=
e2
y
|
=1¶x¶z
|解:(1,0)(1,0)=
2xe2
y
|
=
2¶z
|¶ycos
b(1,0)(1,0)(1,0)¶ycosa
+
¶z
|¶x=
¶z
|¶l¶z
|=
cosa
+
2
cos
b方向导数的概念和计算公式可推广到三元函数.设u
=u(x,y,z)为可微函数,l为过点P0
(x0
,y0
,z0
)引出的射线,若l的方向余弦为cosa
,cos
b,cosg,则函数u
=u(x,y,z)在点P0沿l方向的方向导数存在,cos
gP0P0P0P0¶zcos
b
+
¶u
|¶ycosa
+
¶u
|¶x且
¶u
|
=
¶u
|¶l在点(2,0,1)沿向量
i
-
2
j
-
2k
的方向导数.例12
求函数u
=
(x
-1)2
+
2(
y
+1)2
+
3(z
-
2)2
-
6(2,0,1)=
2(x
-1)
|(2,0,1)
=
2¶u
|解:(2,0,1)=
4(
y
+1)
|(2,0,1)
=
4¶y¶x¶u
|(2,0,1)
(2,0,1)=
6(z
-
2)
|
=
-6¶z¶u
|
3
33{1,-2,-2}=
31
,-
2
,-
2
=
3{cosa
,
cos
b,
cos
g}(2,0,1)¶l¶u
|=
2
1
+
4
(-
2)
+(-6) (-
2)
=
23
3
3连续,可偏导,可微,方向导数存在间的关系可微必可偏导;可微必连续;可微必有方向导数存在;(iv).偏导数连续必可微.定义:设函数z
=z(x,y)在点P0
(x0
,y0
)的某邻域内具有连续偏导数,(2)
梯度0P0P0¶x
¶y则称向量
¶z
|
i
+
¶z
|
j
为z
=
z(
x,
y)在点P
处的梯度,0
0
0
0P0P0¶yi
+
¶z
|
j
.¶x记为grad
z(x
,
y
),
即grad
z(x
,
y
)
=
¶z
|二维哈密顿(向量微分)算子=
¶
i
+
¶
j¶x
¶y0
00
00P0
P
,
¶z
|
=
grad
z(x
,
y
)¶x
¶yz(x
,
y
)
=
¶z
|三维哈密顿算子=
¶
i
+
¶
j
+
¶
k¶x
¶y
¶z0
0
0
0
0
0P0P0P0¶zj
+
¶u
|
k¶x
¶ygrad
u(x
,
y
,
z
)
=
u(x
,
y
,
z
)
=
¶u
|
i
+
¶u
|例13
设u
=
x2
y3
,
求grad
u(1,2).解:
grad
u
=
2xy3
i
+
3x2
y2
j
,grad
u(1,2)
=16
i
+12
j
¶x
¶y
¶z
例14
设u
=
x2
y
sin
z,
求grad
u.解:grad
u
=¶u
,¶u
,¶u
={2xy
sin
z,x2
sin
z,x2
y
cos
z}函数f
(x,y,z)在点P0
(x0
,y0
,z0
)沿方向l的方向导数P0
P0P0P0¶z¶ycosa
+
¶f
| cos
b
+
¶f
| cos
g¶f
|
=
¶f
|¶l
¶x000
{cosa
,
cos
b,
cos
g}P
PP¶f
¶f
¶f
=
|
,
|
,
|
¶x
¶y
¶zcos(^f
(P0
)
,
el
)=
f
(P0
)
el=
f
(P0
)
el^f
(P0
)
,
el
)=
f
(P0
)
cos(00f
(P
)
.P0¶l取最大值当射线l
与
f
(P
)方向一致时,
¶f
|梯度方向与取得最大方向导数的方向一致,梯度的模是方向导数的最大值.梯度运算具有下列性质:若函数f
(P),g(P)在区域D内各个偏导数都存在,则grad[
f
(P)+g(P)]=grad
f
(P)+grad
g(P);grad[Cf(P)]=C
grad
f
(P),
C为常数;grad[
f
(P)g(P)]
=
f
(P)
grad
g(P)
+
g(P)
grad
f
(P)
.例15
求函数z
=ln(x
+y)在抛物线s
:y2
=4
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