北师版数学七年级下册课件 1-5 平方差公式（第2课时）

北师大版数学七年级下册1.5平方差公式（第2课时）

某同学在计算97×103时将其变成(100-3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.导入新知1.灵活地运用平方差公式进行简便计算.2.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.素养目标3.利用平方差公式解答简单问题.如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.ab探究新知知识点平方差公式图1(1)请表示图1中的阴影部分的面积.(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？a2-b2长=a+b;宽=a-b;面积=(a+b)(a-b)(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.探究新知abab图1图2(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.7×9=8×8=11×13=12×12=79×81=80×80=6364143144639640(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(a-1)(a+1)=a2–1

平方差公式探究新知解:

(1)

103×97=(100+3)(100-3)=1002-32=9991(2)118×122=(120-2)(120+2)=1202-22=14396(1)103×97;(2)118×122探究新知

用平方差公式进行计算：例1通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.素养考点1利用平方差公式进行简便运算解:

(1)102×98=1002-22=10000–4=（100＋2）(100－2)=9996；计算:(1)102×98;

(2)51×49;

(2)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499；巩固练习变式训练探究新知

计算：(1)a2(a+b)(a-b)+a2

b2(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)例2解：

(1)a2(a+b)(a-b)+a2

b2

=a2(a2-b2)+a2b2

=a4-a2b2+a2b2=a4(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=4x2-52-(4x2-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.素养考点2平方差公式在混合运算中的应用

计算:(1)

(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)(2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).解:

(1)

原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)（2）原式=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.巩固练习变式训练例3

对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．解：原式＝9n2-1-(9-n2)＝10n2-10.因为(10n2-10)÷10=n2-1.n为正整数，所以n2-1为整数探究新知利用平方差公式进行证明素养考点3方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．巩固练习如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.证明：（2n+1）2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n因为8n是8的倍数，所以结论成立.变式训练注意：逆用了平方差公式奥！（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（

）A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）连接中考B1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式()A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2A基础巩固题课堂检测2.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是(

)A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-1A3.计算20202-2019×2021=____.14.已知a-b=1，a+b=2021，则a2-b2的值为_____.2021课堂检测基础巩固题5.计算：

20152－

2014×2016.解：

20152

－

2014×2016=20152－

(2015－1)(2015+1)=20152－（20152－12)=20152－

20152+12=1课堂检测基础巩固题对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗？请说明理由.解:能.理由如下：A=(4n)2-1-(n2-1)=16n2-1-n2+1=15n2.因为n是正整数，所以15n2一定能被15整除.课堂检测能力提升题

王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？因为a2＞a2－16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，所以李大妈吃亏了．课堂检测拓广探索题平方差公式的应用及注意事项两个应用四点注意1.利用平方差公式简化一些数字计算