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必刷大题6导数的综合问题第三章导数及其应用1.(2023·温州模拟)已知函数f(x)=x2-(a+1)lnx.(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;12345f(x)的定义域为(0,+∞),1234512345(2)若f(x)≥(a2-a)lnx对∀x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.由f(x)≥(a2-a)lnx对∀x∈(1,+∞)恒成立,123452.设f(x)=2xlnx+1.(1)求f(x)的最小值;f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(lnx+1),12345123451234512345所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)<0,F(x)>0当x>1时,g(x)>0,F(x)>0,当x=1时,F(x)=0,123453.(2023·邢台质检)2022年2月4日,第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行,拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”得到了大家的广泛喜爱,达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品,其中某个挂件纪念品每件的成本为5元,并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收,预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(18-x)2万件.(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式;12345由题意,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(18-x)2万件,而每件产品的成本为5元,且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13),∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17].12345(2)求出f(x)的最大值Q(a).∵f(x)=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17],∴f′(x)=(28+2a-3x)(18-x),12345则f′(x)≥0,即f(x)在[13,17]上单调递增,∴f(x)max=f(17)=12-a,123454.(2022·重庆质检)已知函数f(x)=x2+2x-
,a∈R.(1)当a=4时,求f(x)的极值;故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,1234512345(2)若曲线y=f(x)与直线y=ax在(0,4]上有且只有一个交点,求a的取值范围.①当a=0时,g(x)=x2+2x,在(0,4]上无零点,不符合题意;②当a<0时,g(x)在(0,4]上单调递增,g(2)=4+(2-a)×2>0,x→0时,g(x)<0,由零点存在定理得,g(x)在(0,4]内只有一个零点,即曲线y=f(x)与直线y=ax在(0,4]上有且只有一个交点.12345若a≥8,则g(x)在(0,4]上单调递减,当x→0时,g(x)>0,综上,a的取值范围为(-∞,0)∪{4}∪[8,+∞).123455.(2023·济宁质检)已知函数f(x)=acosx+bex(a,b∈R),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x.(1)求实数a,b的值;因为f′(x)=-asinx+bex,1234512345所以f′(x)=-sinx-ex,设g(x)=-sinx-ex,g′(x)=-cosx-ex=-(cosx+ex).所以g′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,-1≤cosx≤1,ex>1,所以g′(x)<0.12345因为>e>2,所以<
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