基本构件的弹性静力分析

基本构件的弹性静力分析第一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-1扭转时的外力偶矩扭矩与扭矩图7-1-1外力偶矩外力偶矩用T表示，矢量方向沿轴线，或直接给定，或由外力向轴线平移得到。国际单位制中,T的单位为N.m，对于传递功率的轴，外力偶矩通常给的是功率和转速设力矩为T，转速为ω，功率为P由功率定义：P=Tω（力偶矩在单位时间内所作之功），国际单位制中,T的单位为N.m，ω的单位为rad/s(弧度/秒)，功率的单位为W(瓦)（焦耳/秒）工程实际中，功率的单位为KW(千瓦)，转速的单位为r/min（转/分），单位转换1KW=1000N.m,ω=2πn/60，代入有T=P/ω=1000P×60/2πn=9549P/n(N.m)即：T=9549P/n(N.m)式中，P的单位为KW(千瓦),n的单位为r/min（转/分）。TTΦT第二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-1-2扭矩与扭矩图扭矩——矢量方向垂直于横截面的内力偶矩。扭矩符号规定：扭矩矢量与截面外法线方向一致者为正；反之为负（矢量指向离开截面为正，指向截面为负）。计算时，采用“设正法”。扭矩的计算方法—截面法:在要求计算扭矩的截面，用一假想截面截开，取其中一部分为研究对象，利用力矩平衡方程求解。如图计算m-m截面扭矩，从m-m截面截开，取左半部分为研究对象，由平衡条件列方程∑Mx=0Mx-T=0解得Mx=T可以取右半部分为研究对象验证。TTmmTMxx第三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日扭矩图—表示扭矩沿杆轴线变化情况的图形。计算方法与轴力图方法相似：1.确定分段（集中力偶作用处）2.写出扭矩方程3.画扭矩图（线段形状、正负、端值）第四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题7-1]圆轴上有四个绕轴线转动的外力偶，如图所示。试画出该轴的扭矩图。解：1.确定分段：根据外力偶情况，分为AB、BC、CD三段；2.分段计算扭矩AB段：取左半段∑Mx=0Mx1+315=0BC段：取左半段∑Mx=0Mx2+315+315=0CD段：取右半段∑Mx=0-Mx3+486=0解得：Mx1=-315N.mMx2=-630N.mMx3=486N.m3.画扭矩图各段均为水平直线注明端值、正负、单位ABCD1500150020001122333153151116486AMx1315xxAMx2315315DMx3486x315630486（N.m）Mxx_+第五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-2切应力互等定理剪切胡克定律7-2-1切应力互等定理考察图（a）所示微元，ABCD面为对应圆轴横截面，面上切应力为τ，合力为τdydz。考虑微体的平衡：对应截面切应力也应为τ，方向相反，二力组成一个力偶力偶矩为τdydz×dx。设上下截面切应力为τ’，也组成一个力偶，力偶矩为τ’dydx×dz。由力偶平衡条件∑M=0，有：

τ’dydxdz-τdydzdx=0解得τ=τ’在微体的两个互垂截面上，垂直于截面交线（即微体棱边）的切应力数值相等，其方向均指向或均背离该交线。此关系称为切应力互等定理。xABCDEFzyτττ,τ,(a)dydzdxxyττ,(b)dydx第六页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-2-2剪切胡克定律切应变—微体在切应力作用下，互垂侧边所夹直角的改变量，用Υ表示。在弹性范围内加载，即切应力在比例极限内，切应力和切应变成正比关系。有τ=GΥ称为剪切胡克定律G为比例常数，称为剪切弹性模量或切变模量。G的量纲与切应力相同，其值与材料性质有关，钢材G=80～84GPa.τττ’τ’Υτττ’τ’Υ=α+

ββαττPτ=GΥΥ第七页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-3圆轴扭转时的应力、变形计算7-3-1变形特点受扭前，在圆轴表面用互相平行的圆周线和纵向线划分成许多小矩形格；受扭后，矩形格变成了平行四边形，纵向线段不发生伸长或缩短，圆周线保持不变。1.平面假定：横截面变形前为平面，变形后仍保持平面，只是绕轴线转过一个角度。2.变形后，相邻横截面间的距离不变。各同轴圆柱面转过角度相同，但切应变不同。切应变与圆柱表面到轴心的距离（半径）成正比。横截面上只有切应力，与半径成正比；没有正应力。TTτττ’τ’Υ第八页，共八十二页，编辑于2023年，星期日用相距dx的两个横截面以及夹角无限小的两个径向截面从轴中切取一楔形体，轴表层的矩形ABCD变为平行四边形ABC’D’，距轴线ρ处的矩形abcd变为abc’d’，均产生剪切变形。dΦ相同，Υ不相同。设距轴线ρ处的所切楔体左右两横截面相对转角即扭转角为dΦ，矩形abcd的剪应变为Υ（ρ），则由图看出Υ（ρ）≈tgΥ（ρ）=cc’/ac=ρdΦ/dx即Υ（ρ）=ρdΦ/dxdΦ/dx代表扭转角沿杆轴的变化率。对同一横截面，为一常数，可见Υ（ρ）与ρ成正比——变形的几何关系7-3-2切应力分布特点将胡克定律τ=GΥ代入，得到距轴线为ρ处的切应力为τ（ρ）=

GΥ（ρ）=GρdΦ/dx物理关系对一个截面，G、dΦ/dx是常量，

τ与ρ成正比。OdxdΦΥ’（R）D’BADCC’Mxτ（ρ）ρMxdρdAτmaxτmaxRMxMxOdxdΦΥ’（ρ）d’badcC’ρ第九页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-3-3切应力计算公式考察距截面中心ρ处的微元dρ，其面积为dA，作用在微元上的力为τ（ρ）dA，对中心之矩为（τ（ρ）dA）ρ。将截面上所有微元上的力对中心之矩积分，即为该截面的扭矩Mx，即∫Aτ（ρ）dA×ρ=Mx——静力学关系将τ（ρ）=GρdΦ/dx代入，得到∫AGdΦ/dx

ρ2

dA=Mx将GdΦ/dx提出，得到GdΦ/dx∫Aρ2

dA=Mx令IP=∫Aρ2

dA,dΦ/dx=Mx

/G∫Aρ2

dA得到dΦ/dx=Mx

/GIP——计算变形的基本公式代入到τ（ρ）=

GρdΦ/dx得τ（ρ）=Mxρ/IP——切应力计算公式ττRM

xτ（ρ）ρM

xdρdA第十页，共八十二页，编辑于2023年，星期日公式适用条件：圆截面轴，应力在剪切比例极限内分析横截面上切应力分布特点：1.横截面上各点的切应力与该点到轴线的距离成正比，同一半径上各点的切应力相等，横截面外沿处切应力最大，中心处切应力为零；2.横截面上各点的切应力垂直于该点所在的半径方向。3.切应力方向由“τdA对轴线之矩的方向与该截面上的扭矩方向一致”确定第十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日IP=∫Aρ2

dA为与圆轴截面尺寸有关的量，称为极惯性矩。直径为d的实心圆轴:IP=πd4

/32内径为d，外径为D的空心圆轴:IP=πD4(1-α4）/32，α=d/DDd第十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日最大切应力横截面上最大切应力在横截面边缘处，τmax=Mx

R

/IP=Mx

/(IP/

R)令WP=IP/

R得到τmax=Mx

/WPWP是与截面尺寸有关的量，称为圆截面的扭转截面系数直径为d的实心圆轴:WP=IP/(d/2)=πd3

/16内径为d，外径为D的空心圆轴:WP=πD3(1-α4）/16第十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-3-4相对扭转角计算公式由dΦ/dx=Mx/GIP得到相邻截面的相对扭转角为dΦ=Mxdx/GIP两端积分∫0Φ

dΦ=∫0lMxdx/GIP如果在长度l内，扭矩和截面尺寸为常量，积分得到Φ=Mx

l/GIP如果在长度l内，扭矩和截面尺寸不为常量，则需分段计算，然后进行代数叠加，得到Φ=∑Mxi

li/GIPi第十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-4剪切时材料的力学性能低碳钢扭转试验:经历线弹性、屈服和破坏三个主要阶段，有屈服应力τs和强度极限τb，最后沿横截面被剪断。铸铁受扭时，变形始终很小，没有明显的线弹性阶段和屈服阶段，只有强度极限τb，最后在与轴线约成45°倾角的螺旋面发生断裂。τs0τbτΥ低碳钢0τbτΥ铸铁第十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-5圆轴扭转时的强度与刚度设计7-5-1强度设计强度条件τmax=（Mx

/WP）max≤[τ]对等截面轴有τmax=Mxmax/WP≤[τ]脆性材料[τ]=τb/nb韧性材料[τ]=τs/ns[τ]与[σ]关系：脆性材料[τ]=[σ]韧性材料[τ]=(0.5～0.577)[σ]第十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-5-2刚度设计刚度条件：θ≤[θ]θ=Φ/

l

=Mx

/GIP，工作时单位长度上的最大相对扭转角，单位为rad/m，[θ]为单位长度上的相对许用扭转角，单位为（°）/m，[θ]的数值与轴的工作条件有关:精密机械的轴，[θ]=0.25～0.5（°）/m；一般传动轴，[θ]=0.5～1.0（°）/m；刚度要求不高的轴，[θ]=2（°）/m。Mx/GIP≤[θ]计算时注意两端单位统一：采用rad/m，右边乘以π/180,采用（°）/m，左边乘以180/π。第十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期日应用强度条件和刚度条件，解决三方面问题：1.校核强度：（Mx

/WP）max≤[τ]；Mx/GIP≤[θ]2.确定许用载荷：Mxmax≤[τ]WP；Mx

≤[θ]GIP3.确定截面尺寸：WP≥Mxmax/[τ]；IP≥Mxmax/G[θ]，确定轴的直径若同时提出强度要求和刚度要求，一般由强度条件计算，再由刚度条件进行校核第十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题7-2]在图示传动机构中，水平E轴的转速n1=120r/min，从B轮上输入功率P=14KW，此功率的一半通过锥形齿轮传给铅垂C轴，另一半传给水平H轴。若锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36和z3=12，各轴直径分别为d1=70mm，d2=50mm，d3=35mm。轴为钢制，[τ]=29.4MPa。试校核各轴强度。BAE轴DC轴H轴d1d2d3第十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期日解：1.计算各轴所受外力偶矩和扭矩已知各轴传递功率分别为P1=14KW，P2=P3=14/2=7KW，各轴转速为n1=n2=120r/min，n3=n1z1/z3=120×36/12=360r/min由T=9549P/n得到各轴所受外力偶矩，各轴扭矩与所受外力偶矩相等，分别为E轴：Mx1=T1=9549P1/n1=9549×14/120=1114N.mH轴：Mx2=T2=9549P2/n2=9549×7/120=557N.mC轴：Mx3=T3=9549P3/n3=9549×7/360=185.7N.mBAE轴DC轴H轴d1d2d3第二十页，共八十二页，编辑于2023年，星期日2.强度校核对C轴：τ3max=Mx3/WP3=16×185.7×103

/π353

=22MPa﹤

[τ]=29.4MPa对H轴：τ2max=Mx2/WP2=16×557×103

/π503

=22.7MPa﹤

[τ]=29.4MPa对E轴：τ1max=Mx1/WP1=16×1114×103

/π703

=16.6MPa﹤

[τ]=29.4MPa三根轴均符合强度要求3.可以先判断危险状态，然后再对危险轴进行校核根据τmax=Mxmax

/WP=16Mx

max

/πd3

分析比较各轴应力比较E、C二轴：Mx1/Mx3=1114/185.7=6，WP1/WP3=d13/d33

=(2d3)3/d33=8τ1max/τ3max

=Mx1max

WP3

=

/Mx3max

WP1=

6/8=0.75C轴比E轴危险；比较E、H二轴：

Mx1/Mx2=2，

WP1/WP2=d13/d23

=

(1.4d2)

3/d23=2.74τ1max/τ2max=2/2.74=0.73H轴比E轴危险，校核C轴和H轴第二十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题7-2]实心轴与空心轴通过牙嵌离合器相联，已知转速n=100r/min，传递功率p=7.5KW，材料[τ]=39.3MPa。实心轴直径为d1，空心轴内外径之比d2/D2=0.5，求：1.由强度条件确定d1，D2；2.实心轴与空心轴横截面面积之比。D2d1d2第二十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日解：1.因两轴转速相等，传递功率也相等，所以扭矩相等：Mx=T=9549P/n=9549×7.5/100=716.2N.m由强度条件τmax=Mx

/WP≤[τ]，对实心轴:WP=πd13

/16代入得到d1≥3√16

Mx

/π

[τ]=3√16×716.2×103/π×39.3=45.3mm对空心圆轴:WP=πD23(1-α4）/16代入得到D2≥3√16Mx

/π(1-α4）[τ]=3√16×716.2×103/π(1-0.54）×39.3=46.3mm2.实心轴与空心轴横截面面积之比A1/A2=πd12/πD22(1-α2)=d12/D22(1-α2)=45.32/46.32(1-0.52)=1.28承受相同的载荷，空心轴比实心轴面积小。第二十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题7-4]钢制空心圆轴外径D=100mm，内径d=50mm，材料G=80.4GPa。要求轴在2m内的最大相对扭转角不超过1.5°，求：1.该轴所能承受的最大扭矩；2.此时轴内的最大切应力。解：1.确定轴所能承受的最大扭矩由题所给条件知:[θ]=1.5/2=0.75°/m=0.75×π/180=0.013rad/mIP=πD4(1-α4）/32=π0.14(1-0.54）/32=9.2×10-6m4由刚度条件θ=Mx/GIP≤[θ]得到Mx≤

GIP[θ]=80.4×109×9.2×10-6×0.013=9.62×103N.m=9.62KN.m2.计算轴内的最大切应力。WP=IP/D/2=9.2×10-6/0.05=1.84×10-4m3τmax=Mx/WP=9.62×103/1.84×10-4=52.28×106Pa=52.28MPa作业：7-6，7-7，7-8第二十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-6承受弯曲与扭转的圆轴

强度设计7-6-1弯扭组合及计算简图齿轮或皮带轮传递功率时，受到的力将使传动轴同时产生弯曲和扭转，即产生弯扭组合变形。计算简图—将作用在齿轮上的力向轴的截面形心简化，用轴线受力代替轴的受力，这种图称为传动轴的计算简图。ABFP1FP2FP3ABFP1FP2FP3T1T2T3FAyFAzFBzFBYxzyABFP1FP2FP3T1T2T3FAyFAzFBzFBYxzyCDE第二十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日1.内力分析：转轴上，既有扭矩，又有弯矩，画出弯矩图和扭矩图，可以确定危险截面：弯矩最大，扭矩最大或弯矩、扭矩同时最大。2.危险截面的危险点上的应力分析：弯矩:σmax=M/WM=2√My2+Mz2距中性轴最远处；扭矩：τmax=Mx/Wp在截面的边缘。结论：危险点在截面的边缘。应力状态:既有正应力，又有切应力MxMzMyMxMMxMττσσ弯扭组合时危险点微体应力状态第二十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-6-2强度设计准则微元体—由横截面、纵截面及圆轴的圆柱面所截的六面体。应力状态—微元体及其各方向面的应力情况称为该点的应力状态。微元体只有正应力σ作用，称为单向拉伸（压缩）状态；微元体只有切应力τ作用的状态，称为纯剪应力状态。以上两种状态，都可以直接利用实验结果建立设计准则。σmax≤[σ]τmax≤[τ]

既有正应力，又有切应力的状态，但在一个平面内，称为平面应力状态。平面应力状态下，破坏不仅与应力大小有关，还与两者比值有关，不能由实验结果确定设计准则σσ单向应力状态ττ纯剪应力状态ττσσ平面应力状态第二十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期日确定设计准则方法：根据其可能的破坏形式，假设破坏原因，在此基础上，利用拉伸试验结果，建立相应的设计准则。对于韧性材料，破坏主要由最大切应力引起，一般有两种设计准则：最大切应力准则或第三强度准则：√σ2+4τ2≤[σ]形状改变比能准则或第四强度准则√σ2+3τ2≤[σ]对圆截面轴，弯扭组合情况下，有σ=M/W，τ=Mx/wp,考虑到WP=2W,代入可得到√M2+Mx2/W≤[σ]——第三强度准则：√M2+0.75Mx2/W≤[σ]——第四强度准则：W=πd3/32第二十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期日引入记号Mr3=√M2+Mx2=√Mx2+My2+Mz2Mr4=√M2+0.75Mx2=√0.75Mx2+My2+Mz2得到Mr3/W≤[σ]Mr4/W≤[σ]将W=πd3/32代入得到设计弯扭组合时圆轴直径计算公式d≥3√32Mr3/π[σ]≈

3√10Mr3/[σ]d≥3√32Mr4/π[σ]≈

3√10Mr4/[σ]第二十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期日计算步骤：1.内力分析：画出弯矩图和扭矩图，确定危险截面，分析危险截面的内力；2.对危险截面的危险点进行应力分析；3.根据应力情况，应用相应的强度设计准则，按照题目要求，进行计算。第三十页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题7-5]电动机功率P=9KW，转速n=715r/min，皮带轮直径D=250mm，电动机轴外伸部分长度l=120mm，轴的直径d=40mm。已知[σ]=60MPa，试用第三强度理论，校核电动机轴的强度。解：1.外力和内力分析：电动机轴的外伸部分可以看作悬臂梁，所受皮带拉力一方面产生扭矩，另一方面产生弯矩，轴产生弯扭组合变形。将力向轴线简化，可以得到电动机轴的受力简图。危险截面在根部，扭矩T=Mx=2FPD/2-FPD/2=FPD/2弯矩M=3FPldlDFP2FPDl3FPMxFPD/2+3FPl-第三十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日2.由题目所给条件求FP和M外力偶矩T=9549P/n=9549×9/715=120.2N.m=1.202×105N.mm

扭矩Mx=T=1.202×105N.mm

代入Mx=FPD/2得到FP=2Mx/D=2×120.2/250×10-3=961.6NM=3FPl=3×961.6×120=3.462×105N.mm3.强度校核由第三强度理论√M2+Mx2/W=32√M2+Mx2/πd3=32√(3.462×105)2+(1.202×105)2/π403

=58.32MPa≤[σ]=60MPa电动机轴满足强度要求。第三十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题7-6]一端固定的圆杆BD在B端与刚性杆AB固结在一起，A端作用有平行于y的力FP。已知FP=5KN，a=300mm，b=500mm，BD杆直径d=60mm，[σ]=140MPa，校核BD杆强度。解：1.对BD杆进行受力分析,确定危险截面:将FP向B点简化，得到一个力偶和一个力FP，力偶矩为T=FP×a=5×103×300=1.5×106N.mm作BD杆的内力图，可以看出危险截面在D，扭矩Mx=T=1.5×106N.mm弯矩M=FP×b=5×103×500=2.5×106N.mmABDFPabxyzFPTbDB+Mx+M第三十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日2.校核强度由第三强度理论√M2+Mx2/W=32√M2+Mx2/πd3=32√(2.5×106)2+(1.5×106)2/π603=137MPa≤[σ]=140MPaBD杆强度安全第三十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-7圆轴疲劳强度概述7-7-1交变应力与疲劳失效交变应力—构件上的应力随着时间的变化而变化。如火车轮轴受力σA=MyA/IzyA=RsinωtσA=MRsinωt/Iz应力随时间按正弦规律变化应力循环—交变应力每变化一个周期，称为一个应力循环。疲劳失效—构件在交变应力作用下，经过一定次数的应力循环而发生的破坏现象，称为疲劳失效，简称疲劳。ωωtyAARMσ+maxσ-maxσtabc第三十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-7-2疲劳失效的特点与原因简述在交变应力作用下，疲劳失效的特征：1.破坏时的明义应力值远低于材料在静载荷作用下的强度指标；2.构件在一定数值的交变应力作用下发生破坏有一个过程，即需要经过一定数量的应力循环；3.构件在破坏前没有明显的塑性变形，即使塑性很好的材料，也将呈现脆性断裂；4.疲劳破坏断口一般都有明显的光滑区域和颗粒状区域。第三十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期日原因概述：位错—金属原子晶格的某些缺陷或错位。1.微裂纹：疲劳起源由于位错运动引起，位错通过运动聚集在一起，形成初始的疲劳裂纹，裂纹长度在10-4～10-7m，称为微裂纹；2.宏观裂纹：形成微裂纹后，在微裂纹处形成新的应力集中，在交变应力作用下，微裂纹不断扩大、相互贯通，形成较大的裂纹，长度大于10-4m，称为宏观裂纹；3.破坏：再经过若干次应力循环后，宏观裂纹继续扩展，致使截面削弱，类似在构件存在尖锐的“切口”，使局部区域内的应力达到很大数值，局部材料处于三向拉伸状态，结果在较低的名义应力下构件发生破坏。第三十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期日疲劳破坏断口有三个不同区域：1.疲劳源区，初始裂纹由此形成并扩展；2.疲劳扩展区，有明显的条纹，类似被海浪冲击后的沙滩，由裂纹传播形成；3.瞬间断裂区，断口为粗粒状，是脆性断裂的特征。裂纹的生成和扩展是一个复杂过程，与构件的外形、尺寸、应力的变化情况以及所处的介质都有关系，有些破坏突然发生，引起的后果比较严重，所以需要经常检测。第三十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-7-3应力—寿命曲线疲劳试验在疲劳试验机上进行，形成对称循环。为减少其它因素影响，试件采用表面磨光、横截面尺寸无突然变化以及直径为7-10mm的小尺寸试件，这种光滑小尺寸试样的试验结果称为材料的疲劳极限。对称循环—交变应力中，最大应力与最小应力数值相等，但符号相反，即σmax=-σmin,应力—寿命曲线——表明试件寿命（N）随其承受的应力（S）变化趋势的曲线。疲劳极限—经过无穷多次应力循环而不发生破坏时的最大应力值，又称为持久极限。S-1SmaxN试验点应力-寿命曲线σ+maxσ-maxσt第三十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期日对于有水平渐近线的材料，经历107次应力循环不破坏，即认为可承受无数多次循环不破坏。对称循环的疲劳极限用σ-1表示。试验发现，钢材的疲劳极限与其静强度极限存在近似关系:σ弯-1≈0.4σb,σ拉-压-1≈0.28σb,

τ扭-1≈0.22σb,在交变应力作用下，材料抵抗破坏的能力显著降低。第四十页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-7-4影响构件疲劳极限的因素构件的疲劳极限与材料的疲劳极限不同，不仅与材料的性能有关，还与构件的外形、横截面尺寸以及表面状况等因素密切相关。1.应力集中的影响（构件外形的影响）应力集中—在构件或零件截面和尺寸突变处，局部应力远远大于按一般理论公式算得的数值，这种现象称为应力集中。应力集中有利于初始疲劳形成和发展。应力集中对疲劳极限的影响用有效应力集中因数Kf度量，它代表光滑试件的疲劳极限与同样尺寸但有应力集中的试件疲劳极限的比值，表示所降低的倍数，Kf＞1。材料的静强度极限越高，应力集中对疲劳极限的影响越显著。第四十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日2.零件尺寸的影响构件尺寸大于标准试样尺寸时，疲劳极限降低，强度越高，下降越明显。原因：大构件毛坯质量比小构件差；大尺寸构件表面积和表层体积比较大，裂纹源一般在表面或表层下；高应力区影响，大构件高应力区高于小试件，有利于初始裂纹的形成和扩展，使疲劳极限降低。构件尺寸对疲劳极限的影响用尺寸因数ε度量，代表光滑大尺寸试件的疲劳极限与光滑小尺寸试件的疲劳极限的比值，ε＜1。第四十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日3.表面加工质量的影响构件承受弯曲或扭转时，表层应力最大，对于截面有突变的拉压构件，表面加工质量直接影响裂纹的形成和扩展，影响构件的疲劳极限。表面加工质量对疲劳极限的影响，用表面质量因数β度量，代表用某种方法加工的构件的疲劳极限与光滑试件的疲劳极限的比值，β＜1。表面加工质量越低，β越小，材料的静强度越高，加工质量的影响越显著。第四十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日构件的疲劳极限综合考虑以上因素，可以得到构件的疲劳极限计算公式，以对称循环为例：（σ-1）d=(εβ/Kfσ)σ-1（τ-1）d=(εβ/Kfτ)τ-1式中：（σ-1）d，（τ-1）d—对称循环的构件疲劳极限；σ-1，τ-1—材料疲劳极限；Kfσ，Kfτ—正应力和切应力的应力集中因数；ε—截面尺寸因数；β—表面质量因数第四十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-7-5疲劳强度设计工程设计中，一般首先根据静载设计准则确定构件的初步尺寸，然后再根据疲劳强度设计准则对危险部位作疲劳强度校核。通常将疲劳强度设计写成安全因数的形式，即n≥[n]n为零部件的工作安全因数，又称计算安全因数；[n]为规定安全因数，又称许用安全因数。材料均匀，且载荷和应力计算精确时，取[n]=1.3；材料均匀程度差，且载荷和应力计算精确度不高时，取[n]=1.5～1.8；材料均匀程度和载荷和应力计算精确度都不高时，取[n]=1.8～2.5。第四十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日疲劳强度计算的主要工作是计算工作安全因数。对称应力循环下零件的工作安全因数为：nσ=（σ-1）/(εβσa/Kfσ)nτ=（τ-1）/(εβτa/Kfτ)σa，τa为应力变化幅值，在对称应力循环下，为应力变化的最大值。对于既有弯曲交变又有扭转交变（对称循环交变）的情形，工作安全因数为：n=nσnτ/√

nσ2+nτ2系数Kf，ε，β可以由设计手册查得，计算过程十分繁琐。第四十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§7-8结论与讨论7-8-1关于圆轴强度与刚度设计过程1.分析与轴相连接的零件，以及作用在这些零件上的力（主动力和约束力）；2.将作用在连接零件上的力向轴线简化，画出轴的受力图；3.绘制轴的扭矩图、弯矩图，确定可能的危险截面和危险截面的内力；4.根据危险截面上的内力确定危险点的位置；5.应用相应的强度理论和题目要求，进行计算。刚度设计一般在强度设计之后进行，第四十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-8-2关于非圆截面杆扭转时的切应力1.非圆截面杆杆的横截面扭转后不保持平面，发生翘曲，平面假设不成立。2.截面边缘各点处的剪应力平行于周边，角点处的剪应力为零；3.矩形截面杆的最大剪应力发生在长边中点处，短边中点处的剪应力也有相当大的数值。设l为杆长，a和b分别为矩形截面的长边与短边，扭矩Mx=T，则长边中点处τmax=Mx/C1ab2短边中点处的剪应力τ=C3τmax相对扭转角Φ=Mx

l

/C2Gab3G为材料的切变模量；系数C1、C2、

C3与比值a/b有关。(表7-1p167)作业：7-12abτ

maxτ

第四十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期日6-24已知q=10N/mm，l=4m，[σ]=100MPa，[w]=l/1000，E=200GPa，确定槽钢型号。解：先由强度条件确定槽钢型号。跨中有最大弯矩:Mmax=ql2/8=10×(4×103)2/8=2×107N.mm由强度条件Mmax/Wz≤[σ]得到Wz≥Mmax

/[σ]=2×107/100=2×105mm3由于有两个槽钢，每个槽钢W=1×105mm3=100cm3查表得到No.16a:Wx=108.3cm3,Ix=866.2cm4。BAlq第四十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期日由刚度条件w=5ql4/384EI≤[w]得到I≥5ql4/384E[w]=5×10×(4×103)4/384×200×103×4=4.17×107mm4=4.17×103mm4由于有两个槽钢，每个槽钢I=2.085×103cm3查表得到No.22a：Ix=2393.9cm4,Wx=217.6cm3,综合考虑，取No.22a槽钢或由强度条件确定No.16a:Wx=108.3cm3,Ix=866.2cm4后，由刚度条件校核跨中有最大挠度，查表得：wmax=5ql4/384EI=5×10×(4×103)4/384×200×103×866.2×104=19.2mm[w]=l/1000=4000/1000=4mmwmax＞

[w]，不满足刚度要求。再由刚度条件确定。第五十页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-6试作图示轴的扭矩图，单位为KN.m解：分成四段，由∑Mx=0计算各段扭矩EB段：Mx1=-30KN.mDE段：Mx2=-30+20=-10KN.mCD段：Mx3=-30+20+15=5KN.mAC段：Mx4=-30+20+15+10=15KN.m作扭矩图30Mx130Mx22030Mx3152030Mx4152010-+1551030(KN.m)xMx10152030ABCDE作业讲评第五十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-7已知T1=1765N.m，T2=1171N.m，G=80.4GPa，求1.轴内的最大切应力及其作用位置；2.轴内最大相对扭转角。解：1.作轴的扭矩图BC段最大切应力τ1max=Mx1/WP1=-16×1171×103/π503=47.74MPaAB段最大切应力τ2max=Mx2/WP2=-16×2936×103/π703=43.61MPa比较得到τmax=-47.74MPa2.求轴内最大相对扭转角ΦBC=Mx1l1/GIP1=-32×1171×103×500/80.4×103×π504=-1.187×10-2radΦAB=Mx2l2/GIP2=-32×2936×103×700/80.4×103×π704=-1.085×10-2radΦAC=ΦAB+ΦBC=Mx1l1/GIP1+Mx2l2/GIP2

=-32×1171×103×500/80.4×103×π504-32×2936×103×700/80.4×103×π704=-2.272×10-2radABCT1T2700500Φ50Φ70Tx11712936-第五十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-8已知T=3KN.m，l=200mm，求1.轴内最大切应力；2.半径r=15mm处的切应力与最大切应力的比值。解：1.轴内扭矩为Mx=T=3KN.m=3×106N.mmτmax=Mx/WP=16×3×106/π603=70.77MPa2.半径r=15mm处的切应力τ=Mxr/IP=32×3×106×15/π604=35.38MPa与最大切应力的比值:τ/τmax=35.38/70.77=0.5第五十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日7-12已知功率P=7KW，转速n=200r/min，FS1=2FS2，[σ]=80MPa，试按第三强度理论选轴的直径。解：1.计算外力矩T=9549p/n=9549×7/200=334N.m=334×105N.mm2.扭矩Mx=T=(FS1-FS2)R=(2FS2-FS2)R=FS2R解得FS2=T/R=334/0.25=1337N选轴为研究对象，由平衡条件得到：

∑Mx=0

FS1R-FS2R-FRcos20°r=0解得FR=FS2R/rcos20°=1337×250/150×0.94=2371NABCD20020040030050020°FS2FS1FR第五十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日3.计算弯矩D截面弯矩MDz=(FS1+FS2)200=3×1337×200=8.02×105N.mmC截面弯矩MC=FR×200=2371×200=4.74×105N.mm＜MDzD截面为危险截面,弯扭组合变形。4.由第三强度理论确定轴的直径√M2+Mx2/w≤[σ],W=πd3/32代入解得d≥3√32√M2+Mx2/π[σ]=3√32√(8.02×105)2+(3.34×105)2/π×80=48mm4.74×1058.02×105CDABABCD200200400300500FS1+FS2FRFCFD第五十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日第8章受压杆的稳定性设计§8-1弹性平衡稳定性的基本概念8-1-1平衡构形的稳定性和不稳定性平衡构形—结构在压缩载荷或在其它特定载荷作用下，在某一位置保持平衡，这一平衡位置称为平衡构形。稳定平衡—当载荷小于一定数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的，不稳定平衡—扰动除去后，构件不能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。屈曲—不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，都要转变为其它平衡构形，这一过程称为屈曲或失稳。屈曲将导致构件失效。由于这种失效具有突发性，常给工程带来灾难性后果。第五十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期日8-1-2临界状态与临界载荷临界状态——压杆介于稳定和不稳定之间的状态，称临界状态，临界载荷——使压杆杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷，用FPcr表示。在临界载荷作用下，压杆可以在微弯状态保持平衡。失稳现象的发生，是因为轴向压力值达到或超过了压杆的临界载荷，压杆直线形式的平衡变为不稳定造成的。△△FP≥FPcr第五十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期日8-1-3三种类型的压杆的不同临界状态根据压杆不同的失效形式，受压杆件分为三种类型，临界状态和临界载荷各不相同。1.细长杆—发生弹性屈曲。当外加载荷FP＜FPcr时，不发生屈曲，FP＞FPcr时，发生弹性屈曲，如图（a）所示。弹性屈曲—外加载荷除去后，杆仍能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形。2.中长杆—发生弹塑性屈曲。当外加载荷FP＞FPcr时，发生弹塑性屈曲，如图（b）所示。弹塑性屈曲—外加载荷除去后，杆不能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形，有些部分出现塑性变形。3.短粗杆—不发生屈曲，而发生屈服。当外加载荷FP＞FPcr时，杆件屈服。如图（c）所示。临界状态不同，临界载荷也不同，短粗杆最大，细长杆最小。OFPFPcr△(b)OFPFPcr△(c)OFPFPcr△(a)第五十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§8-2细长杆的临界载荷—欧拉临界力8-2-1两端铰支的压杆的临界载荷当FP无限接近FPcr时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内存在微弯的屈曲平衡构形。由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定临界载荷。建立图示坐标系，设距坐标原点x处压杆挠度为w，由小挠度微分方程d2w/dx2=±M(x)/EI求解（顺时针转90°，x向右为正，w向下为正，方程右边取负号）即：d2w/dx2=-M(x)/EI由截面法得到，弯矩方程为M(x)=FPw代入得到d2w/dx2=-FPw/EI令k2=FP/EI，整理得到d2w/dx2+k2w=0为二阶齐次微分方程FPBABMFPFP’xxwwlFPBA△BMFPFP’xxww第五十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期日方程的通解为w=Asinkx+Bcoskx由边界条件w（0）=0，w（l）=0得到0=Asin0°+Bcos0°，解得B=0；0=Asinkl+Bcoskl，解得Asinkl=0；或者A=0或者sinkl=0A=0，压杆各横截面挠度均为0，与假设不符；由此解得sinkl=0即kl=0，π，2π，…,nπ即kl=nπ(n=0,1,2,…)解得k=nπ/l代入到k2=FP/EI得到FP=n2π2EI/l2当n=1时，解得有实际意义的临界载荷的最小值即：FPcr=π2EI/l2临界载荷FPcr与EI成正比，与杆长的平方成反比。由于端部为光滑铰链约束，I为压杆横截面轴惯性矩的最小值。FPcrBA△n=1时FPcr=π2EI/l2第六十页，共八十二页，编辑于2023年，星期日8-2-2不同支承条件下的细长压杆的临界载荷不同支承条件下的细长压杆的临界载荷计算公式不同，但是可以写成如下相似的形式，即FPcr

=π2EI/（µl）2称为欧拉公式其中µ称为长度系数，反映了支承方式对临界载荷的影响，µ

l称为有效长度：为不同支承形式的压杆屈曲后正弦半波的长度。。(a)一端自由，一端固定：µ=2.0(b)两端固定：µ=0.5(c)一端铰支，一端固定：µ=0.7(d)两端铰支：µ=1.0公式适用条件：压杆微弯曲，弹性范围内。FPl(a)FPl(c)FPl(b)FPBA(d)l第六十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§8-3柔度三类不同压杆的区分8-3-1柔度临界应力—压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。σcr=FPcr

/A=π2EI/A（µl）2令i2=I/A，称为截面的惯性半径，量纲为长度，令λ=µl/i，代入得到细长杆的临界应力为σcr=π2E/(µl/i)2=π2E/λ2

λ称为柔度或长细比，是一个无量纲的量，综合反映了压杆的支承方式（µ）、长度（l）、截面几何性质（i）对压杆临界应力的影响。对由一定材料制成的细长压杆，临界应力仅与柔度有关，柔度越大，临界应力越低。第六十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日8-3-2三类不同压杆的区分1.细长杆欧拉公式只在弹性范围内适用，即压杆在直线平衡时，横截面上的应力小于或等于材料的比例极限，即σcr=FPcr

/A=π2E/λ2≤σP由此解得

λ≥

√π2E/σP令λ1=

√π2E/σP。压杆柔度λ≥λ1时，欧拉公式成立，压杆称为细长杆，计算临界应力的公式为σcr=π2E/λ2(λ≥λ1)第六十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日2.中长杆压杆柔度λ＜λ1，不是细长杆，但λ﹥λ2λ2=a-σs/b满足λ2＜λ＜λ1

称为中长杆，其中λ2=（a-σs）/ba、b与材料有关，为材料常数，单位为MPa，一般可以查表得到(p176)。σs为材料的屈服应力。计算临界应力的公式为σcr=a-bλ(λ2＜λ＜λ1)λ为压杆的柔度3.粗短杆压杆柔度λ≤λ2的压杆称为粗短杆。细长杆和中长杆破坏形式为屈曲，粗短杆破坏形式为屈服。临界应力为材料的屈服应力σcr=σs(λ≤λ2)第六十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§8-4临界应力总图非细长杆的临界应力根据三类压杆的临界应力与柔度的关系作出的σcr-λ曲线,称为临界应力总图1.细长杆σcr=π2E/λ2(λ＞

λ1)2.中长杆：发生了塑性变形，理论计算比较复杂，采用直线经验公式计算σcr，再由FPcr=σcrA计算临界载荷σcr=a-bλ(λ2＜λ＜λ1)3.粗短杆：不发生屈曲，只发生屈服，临界应力为材料的屈服应力σcr=σs(λ≤

λ2)OλAλ2λ1BCσcrσsσpσcr=σsσcr=a-bλσcr=π2E/λ2

第六十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§8-5压杆的稳定性设计8-5-1设计准则FP≤FPcr/nstFP为工作载荷，FPcr为临界载荷，nst为安全因数。即受压杆件的实际载荷，小于杆件的临界载荷，并具有一定的安全裕度。安全因数法nW≥[n]stnW称为工作安全因数，nW=FPcr/FP=σcrA

/FP[nst]为规定的稳定安全因数。在静载作用下，稳定安全因数略高于强度安全因数。钢材：[n]st=1.8～3.0；铸铁：[n]st=5.0～5.5木材：[n]st=2.8～3.2稳定安全因数与柔度有关。第六十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期日8-5-2稳定计算与设计过程1.首先根据杆长、横截面惯性矩和面积以及支承条件，计算杆件的柔度λ=µl/i，由此判断杆件类型；2.根据杆件类型选择相应的临界应力计算公式，并计算临界载荷FPcr=σcrA；3.计算工作安全因数，并验算是否满足稳定性设计准则。nW=FPcr/FP≥[n]stFPcr为临界载荷，FP为压杆的工作压力。对于结构，需要先计算受压杆的压力，然后按稳定性设计准则进行计算。第六十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§8-6例题[例题8-1]图示两压杆，直径为d，材料都是Q235钢，长度和约束条件不同。已知λ1=132，λ2=62。分析：1.哪一根杆临界载荷大？2.d=160mm时，两杆的临界载荷。E=206GPa。解：计算两杆柔度i2=I/Aλ=µl/i圆截面：I=πd4/64,A=πd2/4,代入得到i=√I/A=d/4对(a)两端铰支:µ=1，l=5mλa=µl/i=1×5×4/d=20/d对(b)两端固定：µ=0.5，l=9mλb=µl/i=0.5×9×4/d=18/dλa＞λb，因为λ与临界载荷成反比，所以，(b)杆的临界载荷大于(a)杆。FP5mFP9m第六十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期日2.计算两杆的临界载荷对于（a）杆：λa=µl/i=20/d=20/160×10-3=125λ1=132，λ2=62。λ1＞λa＞λ2属于中长杆FPcr=σcrA

=(a-bλa)A查表8-1（p176）a=304,b=1.12代入得到：FPcr=(304-1.12×125)×π1602/4=3.3×106N对于（b）杆：λb=µl/i=18/d=18/160×10-3=112.5λ1＞λb＞λ2属于中长杆FPcr=σcrA

=(a-bλb)A=(304-1.12×112.5)A×π1602/4=3.577×106N思考：1.其它条件不变，杆长减小一半，临界载荷将增加几倍？2.改用高强度钢（屈服强度高2倍，E相差不大），能否提高临界载荷？第六十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题8-2]Q235钢制成的矩形截面杆，受力及约束如图所示，(图a为正视图，图b为俯视图)，A，B为销钉连接。若已知l=2300mm，b=40mm，h=60mm，材料E=205GPa，求此杆临界载荷。解：由图知，压杆在正视图平面内弯曲时，A，B两处可以自由转动，相当于铰链约束；在俯视图平面内弯曲时，A，B两处不能转动，相当于固定端约束。即：上下为铰链约束，前后为固定端约束。需分别计算柔度。hbFPFPhl(a)FPblFP(b)第七十页，共八十二页，编辑于2023年，星期日在正视图平面内，Iz=bh3/12，A=bh，µ=1.0，iz=√Iz/A=h/√12=h/2√3λz=µl/iz=1×2300×2√3/60=132.6Q235钢λ1=132，λ2=62λz＞λ1为细长杆在俯视图平面内，Iy=hb3/12，A=bh，µ=0.5，iy=√Iy/A=b/2√3λy=µl/iy=0.5×2300×2√3/40=99.48＜λ1=132λ1＞λy＞λ2属于中长杆λz＞λy,杆将在正视图平面内屈曲，即上下屈曲，由欧拉公式计算临界载荷FPcr=σcrA=π2Ebh/λz2=π2205×103×40×60/132.62=2.76×105N=276KN第七十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期日[例题8-3]图示结构，AB梁为No.14普通热轧工字钢，CD为直径为d的圆截面直杆，二者材料为Q235钢，λ1=132，λ2=62。已知FP=25KN，l1=1.25m，l2=0.55m，[σ]=160MPa，[n]st=2.0，校核结构是否安全？解：1.结构受力变形分析结构中梁AB为拉伸与弯曲组合变形，属于强度问题；杆CD承受压缩载荷，属于稳定问题，分别校核。选梁AB为研究对象，受力分析如图由平衡条件∑MA=0

-FPsin30°×2l1+

FC×l1=0解得Fc=2FPsin30°=FP=25KNABCDFPl1l1l2xyz30°30°ABCFPl1l1xFcFAXFAY第七十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期日2.校核AB梁轴力FN=FPcos30°=25×103×0.866=21.65×103NC截面弯矩最大Mmax=Mc=FPsin30°l1=25×103×0.5×1.25×103=15.63×106N.mm查表(P304)得到No.14普通热轧工字钢Wz=102cm3=102×103mm3A=21.5cm2=21.5×102mm2σmax=Mmax/Wz+FN/A=15.63×106/102×103+21.65×103/21.5×102=163.2MPa＞[σ]=160MPa，{（σmax-[σ]）/[σ]}×100%={（163.2-160）/160}×100%=2%＜5%符合强度要求+21.65×10315.63×106N.mm-第七十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期日3.压杆CD稳定校核CD杆受压力Fp=Fc=25KN,圆截面杆，i=√I/A=d/4=20/4=5mm两端铰支，µ=1.0λ=µl/i=1×550/5=110λ1=132，λ2=62λ1＞λ＞λ2，为中长杆由FPcr=σcrA=(a-bλ)A计算A=πd2/4=π202/4=314mm2由表8-1(p176)得到Q235钢：a=304MPa，b=1.12MPa代入得到FPcr=(304-1.12×110)×314=56.8×103N求压杆工作安全因数，nW=FPcr/Fp将Fp=Fc=25KN代入有：nW=FPcr/FP=56.8/25=2.272nW＞[n]st=2.0压杆CD稳定性安全。结构强度和稳定性都是安全的。第七十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期日§8-7结论与讨论1.稳定计算的重要性由于失稳现象突然发生，造成灾难性事故。如桥梁坍塌、高层建筑坍塌等，所以要高度重视稳定性计算。2.影响压杆承载能力的因素细长杆：FPcr

=π2EI/（µl）2因素较多，与弹性模量E有关，与截面形状、几何尺寸及支承条件有关；中长杆：FPcr=σcrA

=(a-bλ)A主要是材料常数a和b，以及压杆的柔度和横截面积；粗短杆：FPcr=σcrA

=σcrA

不发生屈曲，只发生屈服或破坏，取决于屈服强度和杆件横截面积。第七十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期日3.提高压杆承载能力的主要途径由FPcr=σcrA=π2EA/λ2考虑减小λ，再由λy=µl/i考虑，