课本题改编型问题

(学P138)第34讲课本题改编型问题第七章数学思想与开放探索问题第四篇综合与实践1．内容特性课本中例题、习题是针对教材内容而设置，具有示范性、典型性和代表性，例题、习题是学业考试试题和模拟试题编制的题源，这种“源于课本，又高于课本”的考题，既立足教材，又迁移了教材中解决问题的基本思想和方法，对教材中问题的适当拓展或延伸，改变题目的原有呈现形式，实现问题的推陈出新．2．问题类型(1)以题改题—情景不变，内容改变；(2)以题生题—借助习题，拓展问题；(3)借景编题—利用材料，设置问题；(4)多题联题—利用习题，组合编题；(5)以题换题—结构不变，情景改变．3．解题策略通过课本中例题、习题的基本解题思路和改编后问题的结构去进一步探索，由纵向思考、横向思考，由特殊到一般等．类比思想、特殊到一般、运动变换思想体现较多．类型一以题改题—情景不变，内容改变例1(2014·宁波)课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)(2)△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．

【思路分析】(1)45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．(2)用量角器、直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图——分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC.根据图形易得x的值．(3)因为∠C＝2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．【答案】(1)如图2作图，(2)如图3①、②作△ABC.①当AD＝AE时，∵2x＋x＝30＋30，∴x＝20.②当AD＝DE时，∵30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40.(3)如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x∶y＝2∶3，∵△ACD∽△ABC，∴2∶x＝(x＋y)∶2，所以联立得方程组解得，即三分线长分别是

和.x∶y＝2∶3，2∶x＝（x＋y）∶2，【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第63页探究活动．问题通过课本题再赋予新的定义，进行了类比探究，丰富问题内含．考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道体现能力的题目．(浙教版教材八上，第86页第16题)1．已知△ABC中，AB＝AC，点E、F分别是直线BC，AC上的点，直线AE、BF相交于点P，且CF＝k·BE，∠BAC＝α.(1)若点E、F分别是边BC，CA上的点．①如图1，k＝1，α＝60°，求∠APF的度数；②如图2，k＝，α＝120°，求∠APF的度数；(学P139页)(2)如图3，若点E在边BC上，点F在CA的延长线上，k＝，α＝120°，求∠APF的度数．

【答案】(1)①∵AB＝AC，α＝60°，∴△ABC为等边三角形．∵k＝1，∴CF＝BE，∵

∴△ABE≌△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠APF＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBF＋∠ABP＝60°；②∵CF＝·BE，∴

＝，∵AB＝AC，α＝120°，∴

＝.∵

∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠APF＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBF＋∠ABP＝30°.BC＝AB，∠BCF＝∠ABE，CF＝BE，∠BCF＝∠ABE，(2)∵

∴△ABE∽△BCF，∴∠CFB＝∠AEB，又∵∠CAE＝∠

FAP，∴∠P＝∠C＝30°.∠BCF＝∠ABE，类型二以题生题—借助习题，拓展问题例2(2014·嘉兴)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为(

)A．2cm

B．2cm

C．4cm

D．4cm

【思路分析】先证明EG是△DCH的中位线，继而得出DG＝HG，然后证明△ADG≌△AHG，得出∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝30°，在Rt△ABH中，可求出AB，也即是CD的长．【答案】∵点E，F分别是CD和AB的中点，∴EF⊥AB，∴EF∥BC，∴EG是△DCH的中位线，∴DG＝HG，由折叠的性质可得：∠AGH＝∠ABH＝90°，∴∠AGH＝∠AGD＝90°，在△AGH和△AGD中，∴△ADG≌△AHG(SAS)，∴AD＝AH，∠DAG＝∠HAG，HG＝DG，∠AGH＝∠AGD，AG＝AG，由折叠的性质可得：∠BAH＝∠HAG，∴∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝

∠BAD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AD＝4，∠BAH＝30°，∴HB＝2，AB＝2，∴CD＝AB＝2.故选B.【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九下第19页第6题.考查了翻折变换、三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出∠BAH＝∠HAG＝∠DAG＝30°，注意熟练掌握翻折变换的性质．(浙教版教材八下，第40页例2)2．风能是一种清洁能源，近几年我国风电装机容量迅速增长，图中是2008－2012年中国风力发电装机容量的折线统计图和不完整的条形统计图(单位：万千瓦).(1)小明看了统计图后说：“2011年中国风力发电装机容量比2010年少了．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；(2)请补全条形统计图；(3)设2010年到2013年中国风力发电装机容量年平均增长率相同，求2013年中国风力发电装机容量(结果精确到1万千瓦)．【答案】(1)小明的说法不正确．理由：由折线统计图可知，2011年中国风力发电装机容量比2010年增加了105.5%.2010年中国风力发电装机容量1226，2011年中国风力发电装机容量为1226×(1＋105.5%)＝2519.所以小明的说法不正确.(3)设2010年到2013年我国风力发电装机容量年平均增长率为x，由题意得：1226(1＋x)2＝3814，解得：x1≈0.76，x2≈－2.76(不合题意，舍去)，∴3814×(1＋0.76)≈6713(万千瓦)，答：2013年我国风力发电装机容量约为6713万千瓦．(2)类型三借景编题—利用材料，设置问题例3(2014·绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_______________．

【思路分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．【答案】由题意可得出：y＝a(x＋6)2＋4，将(－12，0)代入得出，0＝a(－12＋6)2＋4，解得：a＝－

，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝－

(x＋6)2＋4.故答案为：y＝－

(x＋6)2＋4.【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九上第17页探究活动．此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．(浙教版教材八下，第17页例6；浙教版教材九下，第20页例3)3．如图是某公园的一滑梯，扶梯AB的坡比为1∶0.8，滑梯CD的坡角∠FDC＝35°，AE＝2.4m，BC＝1m.(1)求扶梯AB的高BE；(2)一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米？(结果精确到0.01m)备用数据：≈3.8419，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002.

【答案】(1)∵＝1∶0.8，AE＝2.4m，∴BE＝3m，即高BE＝3m.(2)∵AE＝2.4m，BE＝3m，∴AB＝，在Rt△CFD中，sin∠CDF＝

，∴CD＝.

∴总路程为：AB＋BC＋CD＝＋1＋

≈10.07m.类型四多题联题—利用习题，组合编题例4(2014·绍兴)已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．(1)A比B后出发几个小时？B的速度是多少？(2)在B出发后几小时，两人相遇？(学P140)【思路分析】(1)根据函数图象可得出A比B后出发1小时；由点C的坐标为(3，60)可求出B的速度；(2)利用待定系数法求出OC、DE的解析式，联立两函数解析式建立方程求解即可．【答案】(1)由图可知，A比B后出发1小时；B的速度：60÷3＝20(km/h)；(2)由图可知点D(1，0)，C(3，60)，E(3，90)，设OC的解析式为y＝kx，则3k＝60，解得k＝20，所以y＝20x，设DE的解析式为y＝mx＋n，m＝45，n＝－45，m＋n＝0，3m＋n＝90，则解得所以y＝45x－45，由题意得解得所以，B出发小时后两人相遇．【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第166页第2题和第165页例2.本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键．y＝20x，y＝45x-45，x＝，y＝36，(浙教版教材九上，第149页第5题和第136页第6题)4．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y＞0)，当x＝

，公共部分面积y最大，y最大值＝

.36类型五以题换题—结构不变，情景改变例5(2014·温州)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab.又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)∴a2＋b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.证明：连结

．∵S五边形ACBED＝

，又∵S五边形ACBED＝

，∴

，∴a2＋b2＝c2.【思路分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，表示出S五边形ACBED，进而得出答案．【答案】连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝

ab＋

b2＋

ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝

ab＋

c2＋

a(b－a)，∴

ab＋

b2＋

ab＝

ab＋

c2＋

a(b－a)，∴a2＋b2＝c2.【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第73页合作学习．此题主要考查了勾股定理的证明，表示出五边形面积是解题关键．(浙教版教材九下，第23页第5题；浙教版教材九上，第148页第2题)5．如图是一只球沿着斜面向下运动的截面图，球的半径为0.24m，接触点为B，BC＝6m，斜面坡角为α＝20°，求球最高点A离地面的距离AH.(精确到0.1m)(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

【答案】过点B作BE⊥AH，BF⊥CH在Rt△OBE中，cos20°＝

∴OE＝0.24×cos20°≈0.23在Rt△BCF中，sin20°＝∴BF＝6×sin20°≈2.04∴AH＝AO＋OE＋EH＝0.24＋0.23＋2.04＝2.51≈2.5.【课本改编题】教材母题——浙教版教材八下，第127页第4题【试题】(2014·丽水)提出问题：(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；类比探究：(学P141页)(2)如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．【分析与解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH.∴∠HAO＋∠OAD＝90°.∵AE⊥DH，∴∠ADO＋∠OAD＝90°.∴∠HAO＝∠ADO.∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AE＝DH.(2)EF＝GH.将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF.将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH.∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据(1)的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；(3)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD∴∠AHO＝∠CGO∵FH∥EG∴∠FHO＝∠EGO∴∠AHF＝∠CGE∵∠A＝∠C＝90°∴△AHF∽△CGE∴

，

∵EC＝2∴AF＝1过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF＝，∵FH∥EG，∴根据(2)①知EF＝GH，∴FO＝HO.∴S△FOH＝

FO2＝×(

EF)2＝

，S△EOG＝

EO2＝×(

EF)2＝∴阴影部分面积为

.【方法与对策】本题通过课本题逐步深化，借助课本题模型联系前后知识和方法设置问题，绍兴市中考对该课本题也改编过．本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．这是中考课本题改编题的常用题型．求最值时，忽视自变量的取值范围．【问题】(2013·鄂州)某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价x销售量

销售玩具获得利润(2)在(1)问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．(3)在(1)问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完