常微分方程初值问题数值解法

常微分方程初值问题数值解法第一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第九章常微分方程初值问题数值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/

许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的初值问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等。能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法。第二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:(1)变量可分离的方程(2)一阶线性微分方程(贝努利方程)(3)可降阶的一类高阶方程(4)二阶常系数齐次微分方程(5)二阶常系数非齐次微分方程(6)全微分方程本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。第三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日③图形解xyo①简单的微分方程②复杂、大型的微分方程①解析解

y=f(x)②数值解(xi,yi)欧拉方法改进欧拉方法梯形法龙格-库塔法第四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日初值问题及其数值解的概念§1引言常用的一些解析解法：常数变易法、Lapalace变换等分离变量法、变量代换、一阶常微分方程初值问题：第五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日对于初值问题，如果在下列区域内连续：（解的存在唯一性）且关于满足Lipschitz条件，即存在常数，使则初值问题存在唯一解，且解是连续可微的。所谓数值解是指：在解的存在区间上取一系列点逐个求出的近似值等距节点：步长第六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日初值问题的解析解及其数值解的几何意义：初值问题的解表示过点的一条曲线初值问题的数值解表示一组离散点列可用拟合方法求该组数据的近似曲线积分曲线第七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.一般采用以下几种方法:(1)用差商近似导数建立数值解法的常用方法第八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日(2)用数值积分近似积分实际上是矩形法宽高第九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日(3)用Taylor多项式近似并可估计误差第十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日§2简单的数值方法Euler方法的基本原理将在点处进行Taylor展开略去项：然后用代替，即得称上述公式为向前Euler公式。一、Euler方法第十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日若将在点处进行Taylor展开略去项：然后用代替，即得称上述公式为向后Euler公式。向后Euler公式为隐式格式，需要利用迭代法求解第十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日Euler方法的几何意义第十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日Y=y(x)ab第十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日解：向前Euler公式：例1：分别利用向前和向后Euler方法求解初值问题的数值解（取步长为）向后Euler公式：第十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日具体计算结果:第十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:解决方法：有的可化为显格式，但有的不行梯形方法为隐式算法二、改进的Euler方法第十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日梯形公式比Euler法精度高一些,但计算量较大

实际计算中只迭代一次，这样建立的预测—校正系统称作改进的Euler公式。第十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第二十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日例解第二十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日Euler近似解精确解01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.50897y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改进Euler近似解结果比较第二十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日三、常微分方程数值解法的稳定性设一个数值方法以定步长求解实验方程得到线性差分方程的解。当时，若，则称该方法对步长为绝对稳定的；否则称为不稳定的。将数值方法应用于实验方程，若对一切都是绝对稳定的，则称区域为该方法的绝对稳定域。上述定义表明，若数值方法可使任何一步产生的误差在后面的计算中都能逐步削弱，则该方法为绝对稳定。第二十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日例如，对于向前Euler法：将其应用于实验方程当时，误差将逐步减弱，故此时方法稳定。向前Euler法绝对稳定域：当因有误差变为时，则有第二十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日四、单步方法的局部误差和阶单步法的一般形式隐式单步法通常称为增量函数显式单步法称为某方法在点的整体截断误差设是准确的，用某种方法计算时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差，即(单步法：在计算yn+1时只利用yn)第二十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日其中为自然数，则称该方法是阶的或具有阶精度。如果给定方法的局部截断误差为如果一个阶单步方法的局部截断误差为则称为该方法的局部截断误差的主项。如向前Euler方法的局部截断误差一阶方法第二十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日Euler方法的误差分析对初值问题中的微分方程两端在区间上积分如果用左矩形公式计算右端积分，并令其中上述等式中如果用代替，即得向前Euler格式。其局部截断误差为第二十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日设关于和均满足Lipschitz条件，即和第二十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日其中而整体截断误差为第二十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日{注意到第三十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日对于初值问题，如果关于满足（向前Euler方法的整体截断误差）Lipschitz条件，为对应的Lipschitz常数，当时，向前Euler方法的数值解一致收敛于初值问题的精确解，且整体截断误差满足估计式如果，Euler方法的整体截断误差为第三十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日一、Runge-Kutta方法的基本思想§3龙格-库塔（Runge-Kutta）方法显式单步法的一般形式：R-K方法是利用一些点的线性组合构造增量函数，使得相应方法的局部截断误差的阶数尽可能高。二阶Runge-Kutta方法确定参数，使得与在点的Taylor展开式有尽可能多的相同项。第三十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日比较两式的相同项得方程组有无穷多解第三十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日若取其一组解则得到改进的Euler公式（二阶方法）若取其另一组解则得到二阶的Heun（休恩）公式。第三十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日二、显式Runge-Kutta方法及其稳定性和设是一个正整数，代表使用函数值的个数，是一些特定的权因子（均为实数），则称下列方法（公式）为初值问题的m级显式Runge–Kutta公式，其中第三十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日类似前面的处理方法，可以得到四级方法：m=4局部截断误差最常用的一种四阶方法：经典显式Runge-Kutta公式第三十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日解：例2：用经典的四阶Runge-Kutta方法求解下列初值问题。经典的四阶Runge-Kutta公式：第三十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第三十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第三十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日注：对于显式N级R-K方法，最多只能得到N阶方法。上述方法的缺陷：计算非常复杂。可通过积分方法确定参数。例2：确定如下三级三阶显式Runge-Kutta公式中的参数：解：对微分方程两边积分得第四十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日采用Simpson公式计算上式右端积分项可设参数则有选择剩余参数，使得第四十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日取第四十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日第四十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日取利用Taylor展开式第四十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日代入当时，第四十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日例3：求经典四阶的R-K方法的绝对稳定域。解：第四十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日其绝对稳定域为三、隐式Runge-Kutta方法m级隐式R–K方法的一般形式其中系数的确定方法同显式R–K方法完全类似第四十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日(1)一级二阶的隐式中点方法：(2)二级四阶的隐式R-K方法：N级隐式R-K法可以达到2N阶缺陷：需要求解非线性方程（组）第四十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日一、k步线性多步法§4线性多步法/*LinearMutistepMethodandPredictor-CorrectorFormat*/所谓的线性多步法，指的是某一步解的公式不仅与前一步的值有关，而且与前面若干步解的值有关的方法。对初值问题两边积分得第四十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日将换为节点取节点，构造的k+1个点的Lagrange插值多项式：多步显式公式第五十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日其中记若函数值已知，则得r+1步显式方法第五十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期日如时，可得二步显式阿达姆斯（Adams）格式其中第五十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期日Adams显式公式的局部截断误差：由Lagrange插值余项知其中（第二积分中值定理）k阶方法第五十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期日取节点，构造的k+1个点的Lagrange插值多项式：多步隐式公式第五十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期日其中记则得到r+1步q+1阶的隐式方法如时，可得二步隐式阿达姆斯（Adams）格式梯形公式第五十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期日常用的一种预测-校正公式：四阶Adams预测-校正公式：（显式）（隐式）初始迭代值由4阶R-K方法计算第五十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期日例4：用Adams预测-校正公式求解下列初值问题。解：Adams预测-校正公式：第五十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期日R-K方法Adams预-校法

精确解011.00000000000.11.0954461.09544511530.21.183217131.2649121.26491106400.41.34164135711.34164078640.51.41421383341.41421356230.61.48323982421.48323969740.71.54919338041.54919333840.81.61245153641.61245154960.91.67331999931.67332005301.01.73205071981.7320508075第五十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期日§5一阶方程组与高阶方程的数值解法一、一阶微分方程组初值问题的一般形式初始条件:第五十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期日写成向量的形式:第六十页，共六十九页，编辑于2023年，星期日n=2对应的Runge-Kutta