正方形的性质

5．3正方形第5章特殊平行四边形第二课时正方形的性质B

A

3．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A的坐标为(0，4)，点B坐标为(－3，0)，则点C的坐标为()A．(1，3)B．(1，－3)C．(1，－4)D．(2，－4)B4．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连结AG，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．解：AF＝BF＋EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠EAD＝90°，又∵∠ADE＋∠EAD＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴∠BFA＝∠AED＝90°，∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，∵AF＝AE＋EF，∴AF＝BF＋EF5．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有()A．4个B．6个C．8个D．10个6．正方形OGHK绕边长为10cm的正方形ABCD的对角线的交点O旋转到如图所示的位置，则阴影部分的面积为()A．100cm2

B．75cm2C．50cm2

D．25cm2CD7．如图，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，M，N两点分别在BC与AB上，且OM⊥ON.(1)求证：OM＝ON；(2)试判断CN与DM的关系，并加以证明．解：(1)证△AON≌△BOM

(2)CN＝DM，CN⊥DM.证△BCN≌△CDM8．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于()A．45°B．60°C．70°D．75°9．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是()A．75°B．60°C．54°D．67.5°CBD

12．如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点(不与A，B重合)，连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连结BE，则∠CBE等于()A．75°B．60°C．45°D．30°CB

14．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？解：(1)通过证△BCE≌△DCF，可得CE＝CF

(2)GE＝BE＋GD成立，理由如下：由(1)知△BCE≌△DCF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠GCF＝∠GCD＋∠DCF＝∠GCD＋∠BCE＝∠BCD－∠ECG＝45°＝∠GCE，再证△GCE≌△GCF，∴GE＝GF＝GD＋DF＝GD＋BE15．如图①，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF

(2)OE＝OF成立，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°，∠E＋∠OBE＝90°.又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF16．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE；(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，MP与NQ是否相等？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，∴∠FAD＋∠AFD＝90°，又∵∠FAD＋∠BEA＝90°，∴∠BEA＝∠AFD，∴△ABE≌△DAF，∴AF＝BE

(2)分别过点P，Q作PE⊥AB于E，QF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴QF＝DC，同理PE＝BC，又DC＝BC，∴QF＝PE，∵AB∥QF∥CD，∴∠PME＝∠MPD＝∠QKO(QF与PM交于点