金华一中陈蕾《函数的概念及其性质》

函数的概念与性质学习目标02内容安排04课时分配05目录知识结构03课程目标01课程目标01函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界变化规律的重要数学模型。通过本章学习，使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，用逻辑语言进行数学表达与交流，用不等关系刻画函数性质，感受用函数概念建立模型的过程与方法，为后续学习指数函数、对数函数奠定基础。总而言之，函数是贯穿高中数学课程的主线。课程目标学习目标021.借助函数图象，用符号语言描述函数变化情况，并正确理解函数的单调性、最值概念。2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。1.在初中学习的基础上学会描述变量之间的依赖关系，用集合语言与对应关系刻画函数模型。2.理解函数构成三要素，会求函数的定义域、值域。3.合理选择图象法、列表法、解析法表示函数模型。4.了解分段函数，并加以应用。1.体会初步建立函数模型的过程与发法，初步运用函数思想，解决现实生活中的一些简单问题。2.收集了解函数的形成与发展，阅读相关资料，撰写小论文，感悟数学文化。学习目标函数概念函数性质幂函数函数应用及发展幂函数是应用最基本、最广泛的函数，通过实例并结合这五个函数图象，理解变化规律，了解幂函数。知识结构0301函数的概念与性质简单的幂函数分段函数单调性奇偶性函数最值函数三要素解图列析象表法法法数学模型化函数概念与表示函数性质两类函数函数应用背景已学函数概念客变观量世的界关的系内容安排043.13.23.3函数概念与性质函数的概念及其表示函数的基本性质幂函数共分为5节3.4函数的应用3.5阅读与写作新教材加强背景,从典型实例出发引出函数概念,体现函数刻画运动变化的本质特征,体现函数模型思想。通过具体问题观察与分析，归纳得到函数三要素，抽象函数概念。在初中“变量说”的基础上，理解函数的“对应关系说”，用集合语言深入刻画函数概念，加强函数概念形成过程，让学生自己归纳概括函数的本质。注重函数的不同表示法：解析法、图象法、列表法。函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，特别是在信息技术环境下，使函数在数与形两方面的结合得到充分的表现，发挥图象直观作用。函数中蕴含着许多数学模型，学习函数是学生进一步认识数学模型的重要过程，用数学语言表达世界。01020304函数的概念与表示函数是中学数学最重要最基本概念之一1692年莱布尼茨首次使用“function”（函数）这词表示随曲线的变化而改变的几何量。早期函数概念1755年欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。代数观念下的函数1837年狄利克雷拓广函数概念，指出“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y就是x的函数”。对应关系下的函数19世纪70年代以后，函数概念进而用严谨的集合和对应语言表达，形成现代函数概念。集合论下的函数函数概念的发展历程01020304阅读与思考对于数学史的学习,新教材用了一种特别的教学方式在章节后加了文献阅读与数学写作。奇偶性单调性函数最值函数的基本性质变化中的规律性、不变性1图象特征23定义单调性判定教材直接给出三幅图象，引导学生观察和分析图象特征，“定性”刻画图象上升下降情况，进一步利用函数符号，“定量”说明描述函数变化情况，为引入函数单调性定义作好准备。回归单调性定义，利用不等式性质和代数变形，总结得到判断并证明函数单调性的一般方法。通过三个例题四个练习层层递进帮助理解问题中函数的单调性和证明过程。函数的基本性质单调性通过代数运算和图象直观揭示函数单调性；新教材给出研究函数单调性的过程是：具体函数——图象特征——数量刻画——符号语言——抽象定义——单调性判定；这是一种从特殊到一般的归纳概括过程。引导学生利用函数定义及解析式把图象变化规律表示出来。设置问题说明为什么f(x1)>f(x2),实质上是引导学生利用不等式的基本性质进行证明，从而引出函数单调性的定义。教材在给出定义后设置“思考”，引导学生体会函数单调性是对于某个区间而言，具有局部性。感性分析以y=x2图象为例，观察到图象在y轴左侧部分从左到右是下降的；在y轴右侧部分从左到右是上升的。定性分析引入不等式关系视角：当x<0时，y随x的增大而减少；当x>0时，y随x的增大而增大。定量分析用符号语言描述，并引入全称量词表达函数定义域内某个区间内的具有任意性的一般特征。从这里也可以看出新教材在整体结构上的调整，把原来逻辑命题和不等式置于函数之前，更有利于数学内在的逻辑性和知识联结上的呈现，以及展现更具有现代化的数学体系。定义形成01020304单调性单调性定义形成过程一般地，设函数f(x)的在定义域为I,区间;当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在定义域D内单调递增。当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在定义域D内单调递减。0102教材利用两个“思考”：第一个思考以学生熟悉的图象为背景，为引出最大值概念作准备；第二个思考，则是让学生通过类比最大值得出的方法得到最小值概念。函数最大（小）值定义利用烟花爆裂与分式函数这两个例题解决函数最值的理解问题，并与函数单调性判定、证明相互融合。例题、练习处理函数的基本性质最大（小）值函数最值的定义借助二次函数及图象引出，遵循从特殊到一般的原则。函数的基本性质奇偶性拓展奇(偶)函数定义的等价形式，加强数形结合判断函数奇偶性，使得奇偶判断方向更加明确。12利用具体函数y=x2,y=2-|x|，直观感知函数图象共同特征。类比函数单调性，引导学生利用表格数据研究发现数量变化特征，再通过代数运算验证发现数量特征的普遍性，建立奇（偶）函数概念，形成判断奇（偶）函数的一般步骤。新教材给出研究函数奇偶性的过程是：具体函数——图象特征（对称性）——数量刻画——符号语言——抽象定义——奇偶性判定。这是一种从特殊到一般的归纳概括过程。3利用思考题，意在让学生通过函数的奇偶性画出函数的图象。其次通过具体例题，解决判断函数奇偶性实质问题，特别是习题3.2安排函数单调性与奇偶性相结合的问题，难度较大并使知识点融会贯通。感性分析观察发现y=x2,y=2-|x|的图象共同特征为函数图象关于y轴对称。定性分析通过取自变量的一些特殊值，观察相应的函数值情况得出当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。定量分析考虑任意性，加入全称量词命题视角得出一般性的特征。定义形成01020304奇偶性探索奇偶性定义形成过程（类比单调性，以偶函数为例）一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果都有，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。函数的基本性质信息技术支持下的函数图象利用计算机软件可以便捷、迅速地绘制各种函数图象，教材介绍软件《GeoGebra》为例，绘制y=x3图象，引导探究二次函数y=ax2+bx+c,研究a,b,c系数对函数图象的影响。5个幂函数的图象99%幂函数的定义幂函数高中阶段第一类具体函数幂函数的性质直接在一个坐标系里给出5个幂函数图，观察函数图象的共性和个性，为得出性质奠定基础。引导学生从函数图象和解析式这两个角度自主研究探索函数的性质。关于幂函数学习的顺序调整这是对初中学习一次函数、二次函数、反比例函数做的一次总结，归纳出一般性即幂函数的性质与特征，形成问题的模块化。首先给出5个实例，观察5个函数解析式中的底数、指数的共性，获得幂函数的定义。新教材幂函数学习是在指数函数、对数函数之前，在教材第4个实例中出现，直接用小边框将写成，1/2的含义是根号的意思，这一点我们会在分数指数幂里系统学习，为后续研究指数函数作好铺垫。获得幂函数定义后，设置“思考”引导学生回顾学习函数研究经验，类比得到幂函数图象与性质、应用。探索与发现问题是数学的心脏，数学问题的探索与发现非常重要。保罗∙哈尔莫斯曾经这样讲过学习数学的唯一办法是做数学。新教材加入了研究数学的理念即动手做数学，并培养学生建立和掌握研究探索新问题的思想和基本方法。123函数的运算与函数的构成：1.运用加减乘除以及后面将学的指数、对数、三角等运算构造新函数并进行函数运算。2.体现做数学、玩数学的育人功能。3.培养研究问题、发现问题、解决问题的数学科学素养。研究函数的三个角度：函数解析式、函数性质、函数图象。1.本问题探索的顺序为代数式——性质——图象，在代数式特征里着重引导与已学函数、以及不等式的联系，即联系旧知识探索新问题，也再次证明新教材结构调整的合理性。在性质研究里运用前面所学的知识进行分析，比如考虑奇偶性、单调性这样的纯抽象式的分析。最后才根据前面的探索刻画出它的图象。2.在探索问题过程中具体与抽象，特殊与一般也是交替使用。这是开放式的思维过程，学生的探索带有“盲人摸象”似的不完整性和一些独特思维灵性的产生。前者需要合理引导，后者需要我们大力点赞鼓励。数学知识对于我们来说，其价值不止是由于它是一种有力的工具，同时还在于数学自身地完美。在数学内部或外部地展开中，我们看到了最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级地智能活力地美学体现。函数的图象与性质函数的应用函数知识解决实际问题教材通过两个具体实例，引导学生从实际情境中提取变量，寻求变量的变化范围及变量间的对应关系建立函数模型去描述现实世界中事物的变化规律，解决相关实际问题。文献阅读与数学写作函数