正切函数的性质和图象

第5章

三角函数5.4.3正切函数的性质和图象人教A版2019高中数学必修第一册

如何研究正切函数的性质和图象？【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的

图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？【解答】(1)应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，

再从代数的角度对性质作出严格表述.(2)对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究

其图象.【问题】正切函数的定义域是什么？

【解答】由正切函数的定义可知，它的定义域是

如何研究正切函数的性质和图象？【正切函数的性质】【1】周期性：

由诱导公式可知，

正切函数是周期函数，周期是π.

【2】奇偶性：

由诱导公式可知，

正切函数有奇偶性，是奇函数.

表明正切函数的定义域关于原点对称表明正切函数的图象关于原点对称如何研究正切函数的性质和图象？【问】你能证明正切函数的周期性吗？【答】①当k是偶数时，

②当k是奇数时，

综上，有

由周期函数的定义可知，正切函数的周求是是它的最小正周期.

【再问】这有什么用？【再答】可以先研究正切函数在之间的图象和性质，再加以拓展.

如何研究正切函数的性质和图象？【问】如何画出函数的图象？【答】如图，设，在坐标系中画出角的终边与单

位圆的交点.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A(1，0)作轴的垂线与角的终边交于点T，则

由此可见，当时，线段AT的长度就是角的正切值，利用线段AT画出函数的图象如图所示.

观察可知，函数图象呈类似于指数型的增长，向右上方无限接近直线如何研究正切函数的性质和图象？【问】如何画出正切函数的全部图象？【答】利用奇偶性和对称性，把函数在之间的部分进行复制平移即可.

我们把正切函数的图象叫做正切曲线。从图象可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无数个形状相同的曲线组成的

如何研究正切函数的性质和图象？【问】正切函数的图象有怎样的特征？【答】①图象关于原点对称②图象在轴上方的部分下凹；在轴下方的部分上凸.②图象被相互平行的直线隔开，图象无限

接近这些直线，但永不相交。🍌

正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。

或者也可以类比正弦余弦函数用三点两线法.正切函数的单调性和值域【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增；

由周期性可知，正切函数在每个区间上都单调递增

【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能

发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与横轴的交点和渐近线与

横轴的交点。

正切函数不是轴对称图形，没有对称轴.正切函数的单调性和值域【值域】观察图象，当时，在内可以取到任意实数

值，但没有最大值或者最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.

奇函数

【例1】求函数的定义域和周期.

【解】自变量的取值满足条件

所以函数的定义域是

设，又，所以

即

因为都有

所以，函数的周期为2【例2】观察正切曲线，直接写出满足下列条件的的范围.【解】

【例3】求下列函数的周期.【解】

所以函数的周期为.

所以函数的周期为