相似图形的应用

第33课时相似图形的应用1．小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图33－1，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA＝0.2m，OB＝40m，AA′＝0.0015m，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为(

)[小题热身]B图33－1 A．3mB．0.3mC．0.03mD．0.2m2．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的

高度，在点F处竖立一根长为1.5m的标

杆DF，如图33－2，在同一时刻量出DF

的影子EF的长度为1m，再量出旗杆AC

的影子BC的长度为6m，那么旗杆AC的

高度为 (

) A．6m B．7mC．8.5mD．9m图33－2D3．如图33－3，已知零件的外径为25mm，现用

一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝ OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，

量得CD＝10mm，则零件的厚度x＝_______ mm.图33－32.54．如图33－4，阳光通过窗口照射到室内 (太阳光线是平行光线)，在地面上留下 2.7m宽的亮区，已知亮区到窗口下墙

脚的距离EC＝8.7m，窗口高AB＝1.8m，

求窗口底边离地面的高BC.图33－4一、必知2知识点1．相似三角形的应用

与相似三角形有关的实际应用： (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形； (2)测量底部可以到达的物体高度； (3)测量底部不可到达的物体高度； (4)测量不可到达对岸的河岸．

几何图形的证明与计算：计算线段的数量关系，求线段的长度和图形的面积大小等等．解法是先根据已知条件构造相似三角形，再利用相似三角形性质求解．[考点管理]2．位似图形

位似图形：如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点所在的直线都相交于同一______；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做____________，位似中心到两个对应点的距离之比叫做__________．

坐标系中的位似变换：当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky).点位似中心位似比二、必会2方法1．相似三角形的应用技巧

相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．2．位似图形的识别

识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心，否则就不是．三、必明3易错点1．位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形．2．如果只说明两个三角形相似，而不是说“相似于”，则需要分类讨论．3．已知一个图形和位似中心作位似图形时，要注意运用分类讨论思想，考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心的两侧两种情况，避免出现漏解．类型之一利用相似解决生活实际问题

[2016·陕西]某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图33－5，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5m，CD＝2m，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量．方法如下：小亮从D点沿DM方向走了16m，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5m，FG＝1.65m.已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．图33－5【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法，得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．1．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图33－6，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长(结果精确到0.1m)．图33－62．[2015·兰州]如图33－7，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10m的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2m，落在地面上的影子BF的长为10m，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3m，落在地面上的影子DH的长为5m，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是________投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．图33－7平行变式跟进2答图类型之二相似三角形与其他知识的综合运用

[2016·金华]在四边形ABCD中，∠B＝ 90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC， H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的

函数关系用图象大致可以表示为(

)图33－8D∵DH垂直平分AC，∴DA＝DC，AH＝HC＝2，∴∠DAC＝∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DAH＝∠BAC，∵∠DHA＝∠B＝90°，∴△DAH∽△CAB，【点悟】此类问题一般涉及相似三角形的判定与性质、特殊四边形的性质以及锐角三角函数的定义等．常常用到数形结合思想、分类讨论思想等．图33－9A【解析】如答图，过点F作FG⊥BC于点G.∵∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠FEG，∠B＝∠FGE，DE＝EF，∴△DBE≌△EGF(AAS)，∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y－3x，变式跟进1答图∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG∶BC＝FG∶AB，2．[2015·丽水改编]如图33－10，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.(1)当F为BE中点时，求证：AM＝CE；图33－10解：(1)证明：如答图①，∵F为BE的中点，∴BF＝EF.∵AB∥CD，∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF.∴△BMF≌△ECF.∴MB＝CE.∵AB＝CD，CE＝DE，∴MB＝AM，∴AM＝CE；变式跟进2答图①变式跟进2答图②类型之三坐标系中的位似变换(选学)图33－11D A．(－3，6)

B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18)

D．(－1，2)或(1，－2)【解析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k进行求解．【点悟】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k，解答此类问题时，一定要考虑两种情况．1．[2016·十堰]如图33－12，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为 (

)A．1∶3 B．1∶4C．1∶5 D．1∶9图33－12D2．[2015·宜宾]如图33－13，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为 (

)图33－13B【解析】如答图，连结BC，∵∠OCD＝90°，CO＝CD，∴△OCD是等腰直角三角形．∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∴BC⊥OD，且B是OD的中点，∵△OCD是等腰直角三角形，∴OB＝BC，∵B(1，0)，∴C(1，1)．变式跟进2答图

比例尺理解偏差(淮安中考)在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实地距离为________m.【错解】设A，B两地间的实地距离为xm，∴1∶200＝4.5∶x，∴x＝900m，即A，B两地间的实地距离为900m.【错因】求两条线段的比例时单位要统一，解答本题时要设实际长度为x(cm)，结果的单位要化为m，否则容易出