正弦定理和余弦定理 省赛获奖

课前双基巩固课堂考点探究教师备用例题第二单元

三角函数、解三角形第22讲

正弦定理和余弦定理考试说明掌握正弦定理、余弦定理.定理正弦定理余弦定理公式a2=

,

b2=

,

c2=

定理的变形cosA=

,

cosB=

,

cosC=

知识聚焦1.正弦定理和余弦定理

b2+c2-2bccosA

c2+a2-2accosB

a2+b2-2abcosC

2RsinC

A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数

2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:

对点演练题组一

常识题1.[教材改编]

在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=

.

[解析]由a2=b2+c2-2bccosA得1=3+c2-3c,即c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.1或2

题组二

常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;边角互化方向弄错.5.在△ABC中,若sinA=sinB,则A,B的大小关系为

;若sinA>sinB,则A,B的大小关系为

.

[解析]根据正弦定理知,在△ABC中有sinA=sinB⇔a=b⇔A=B,sinA>sinB⇔a>b⇔A>B.A=B

A>B

45°

8.

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asinA+bsinB=csinC,则△ABC为

三角形.

[解析]∵asinA+bsinB=csinC,∴由正弦定理得a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.直角

[总结反思]对于解三角形问题,通常利用正弦定理通过“边转角”寻求角的关系,或通过“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.解三角形问题是高考的高频考点,解题时还经常用到三角形内角和定理、三角形面积公式等.

A

[思路点拨]首先利用正弦定理化边为角,再利用二倍角公式找出A,B的关系,进而判断三角形的形状.

A[总结反思]判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,避免漏掉一些可能情况.解题时注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.变式题

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60°,b2=ac,则△ABC一定是(

)A.锐角三角形

B.钝角三角形C.等腰三角形

D.等边三角形[解析]由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,又b2=ac,∴a2+c2-ac=ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,∴A=B=C=60°,∴△ABC是等边三角形.故选D.D

B

(2)[2019·金华十校模拟]

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2且ccosB+bcosC=4asinBsinC,则c的最小值为

.

[总结反思]求有关三角形的最值(范围)问题时,可以将待求量用一个角的三角函数表示,也可以将待求量用某条边表示,然后利用三角函数的性质、二次函数的性质、基本不等式等求解.微点2多三角形背景解三角形例4[2020·Z20联盟联考]

在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在边BC,AB上,AC=BC=3BD=6,∠EDC=60°,则BE=

,cos∠CED=

.[思路点拨]在△BDE中利用正弦定理可直接求出BE,在△CEB中用余弦定理求出CE,再用余弦定理求出cos∠CEB,进一步得到cos∠CED的值.

[总结反思]多三角形背景解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.

【备选理由】例1考查利用两角和的正弦公式、正弦定理求角,利用余弦定理、勾股定理判断三角形的形状;例2考查求三角形的面积的最大值,解题的关键是利用基本不等式求解边的乘积的最值;例3、例4考查多三角形背景的解三角形问题.例1

[配合例2使用][2019·大庆一中二模]

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足2acosC=2b-c.(1)求角A;(2)若a2=b(b+c),试判断△ABC的形状.

例3

[配合例4使用][2019·菏泽一中一模]

在△ABC中,∠BAC=90°,AD是∠BAC的平分线,点D在线段BC上,且BD=2CD.(1)求sinB的值;(2)若AD=1,求△ABC的面积.