补上一课极值点的偏移问题

极值点的“偏移”问题1.极值点“偏移”图示知识拓展(左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0)(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0)(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0)【例1】

已知函数f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，证明：当x＞1时，f(x)＞g(x)； (3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2.题型一对称化构造法题型突破(2)证明由g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，得g(x)的解析式为y＝f(2－x)，构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(1，＋∞)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，当x＞1时，x－1＞0，ex－2－e－x＞0，则F′(x)＞0，得F(x)在(1，＋∞)上单增，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x).(3)证明由f(x1)＝f(x2)，结合f(x)的单调性可设x1＜1＜x2，将x2代入(2)中不等式得f(x2)＞f(2－x2)，又f(x1)＝f(x2)，故f(x1)＞f(2－x2)，又x1＜1，2－x2＜1，f(x)在(－∞，1)上单增，故x1＞2－x2，x1＋x2＞2.【训练1】

(2016·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点(a＞0).

设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

证明由f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)，知f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，f(1)＝－e，由f(x1)＝f(x2)＝0，可设x1＜1＜x2.

构造辅助函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，求导得F′(x)＝f′(x)－[f(2－x)]′

＝(x－1)(ex＋2a)－(x－1)(e2－x＋2a)

＝(x－1)(ex－e2－x)，

当x＜1时，x－1＜0，ex－e2－x＜0，则F′(x)＞0，得F(x)在(－∞，1)上单增，又F(1)＝0，故F(x)＜0(x＜1)，即f(x)＜f(2－x)(x＜1).将x1代入上述不等式中，得f(x1)＝f(x2)＜f(2－x1)，又x2＞1，2－x1＞1，f(x)在(1，＋∞)递增，故x2＜2－x1，x1＋x2＜2.题型二构造函数的选取【例2】

已知函数f(x)＝ex－ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0. (1)求a的取值范围；(2)求证：x1＋x2＜2x0； (3)求证：x1＋x2＞2；(4)求证：x1x2＜1.

(1)解

f′(x)＝ex－a，若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单增，f(x)至多有1个零点，舍去；故必有a＞0，易得f(x)在(－∞，lna)上单减，在(lna，＋∞)上单增，要使f(x)有两个不同的零点，则有f(lna)＜0⇒a＞e(严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x→－∞时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞).(2)证明由所证结论知这是f(x)的极值点偏移问题，选取函数f(x)来做，下面按对称化构造的三个步骤来写，其中x0＝lna.①由(1)知f(x)在(－∞，x0)上单减，在(x0，＋∞)上单增，可设x1＜x0＜x2；②构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，则F′(x)＝f′(x)－[f(2x0－x)]′＝ex＋e2x0－x－2a，③将x1代入②中不等式得f(x1)＝f(x2)＜f(2x0－x1)，又x2＞x0，2x0－x1＞x0，f(x)在(x0，＋∞)上单增，故x2＜2x0－x1，x1＋x2＜2x0.(4)证明

①同上；【训练2】

已知b＞a＞0，且blna－alnb＝a－b.

求证：(1)a＋b－ab＞1； (2)a＋b＞2.当x∈(0，1)时，(2－x)2lnx＋x2ln(2－x)的符号如何判定？尝试变更结论：证明更强的结论ab＞1.题型三变更结论规律方法通过换元化为常规类型证明【训练3】

已知函数f(x)＝lnx和g(x)＝ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足f(x1)＝g(x1)，