空间向量的数乘运算

3.1.2空间向量的数乘运算第三章

§3.1空间向量及其运算学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握空间向量的数乘运算.2.理解共线向量定理及其推论.3.理解共面向量定理及其推论.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积

仍然是一个

，称为向量的数乘运算几何意义λ＞0λa与向量a方向_____λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＜0λa与向量a方向______λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律分配律λ(a＋b)＝________结合律λ(μa)＝______向量相同相反λa＋λb(λμ)aλa知识点二共线定理与共面定理共线(平行)向量与共面向量

共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相

，则这些向量叫做

或平行向量平行于

的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_______若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使____________平行或重合共线向量同一个平面a＝λbp＝xa＋yb推论如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，

①其中a叫做直线l的

，如图所示.

方向向量如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使

＝

，或对空间任意一点O来说，有

＝思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面.(

)2.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.(

)√×√×2题型探究PARTTWO一、空间向量的数乘运算√反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.√二、空间向量共线的判定反思感悟利用空间共线向量定理可解决的主要问题(1)判断两向量是否共线：判断两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a＝λb.(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用“若a∥b，则a＝λb(λ∈R)”.三、空间向量共面问题反思感悟证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有

且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.(2)点M是否在平面ABC内？又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内.3随堂演练PARTTHREE√123451234512345√123453.下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是√∴点M，A，B，C共面.123454.若空间中任意四点O，A，B，P满足

其中m＋n＝1，则A.P∈直线AB B.P∉直线ABC.点P可能在直线AB上 D.以上都不对√解析因为m＋n＝1，所以m＝1－n，12345②③12345则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①是假命题；1.知识清单：(1)空间向量的数乘运算.(2)共线向量定理及其推论.(3)共面向量定理及其推论.2.方法归纳：数形结合.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR基础巩固√141234567891011121315161718√141234567891011121315161718解析

∵M，N分别是BC，CD的中点，141234567891011121315161718√141234567891011121315161718√又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，141234567891011121315161718√141234567891011121315161718141234567891011121315161718①④1412345678910111213151617181412345678910111213151617187.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.1412345678910111213151617181412345678910111213151617181141234567891011121315161718又∵e1，e2不共线，141234567891011121315161718141234567891011121315161718此方程组无解，这样的x，y不存在，所以A，B，C，P四点不共面.141234567891011121315161718141234567891011121315161718141234567891011121315161718综合运用√141234567891011121315161718√141234567891011121315161718141234567891011121315161718②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；141234567891011121315161718其中错误命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4√解析

显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误.141234567891011121315161718对照已知式子可得x＝1，－2y＝1,3z＝1，141234567891011121315161718814123456789101112131516171816.已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.(填序号)①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面.①②③解析因为λ2＋μ2≠0，所以当λ＝0时μ≠0，此时a＝μe2，所以a与e2共线；同理当μ＝0时，λ≠0，此时a＝λe1，所以a与e1共线；当λ≠0且μ≠0时，由a＝λe1＋μe2，且e1，e2不共线得a与e1，e2共面，综上可知，这三个结论都有可能正确.14123456789101112131516171817.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G点是△BA1D的重心，

则x＋y＋z的值为A.3 B.1

C.－1 D.－3拓广探究√141234567891011121315161718141234567891011121315161718∵G