直线与抛物线的位置关系 省赛获奖

考试要求1.能解决直线与抛物线的位置关系问题；2.能解决抛物线的切线问题、弦长问题.第8节直线与抛物线的位置关系知

识

梳

理a<0a＝0a>0p<2bkp＝2bkp>2bk2.抛物线的切线(1)过抛物线外一点的直线中，有两条直线与抛物线相切.(2)过抛物线上一点的直线中，只有一条直线与抛物线相切.(3)过抛物线内一点的直线与抛物线均相交.3.若直线与抛物线有两个交点，其弦长公式与椭圆的弦长公式相同.基

础

自

测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线不一定是抛物线的切线.(

)(2)过抛物线内部一点的所有直线都与抛物线相交.(

)(3)直线与抛物线相交，则一定有弦长.(

)(4)抛物线y2＝4x在点(1，2)处的切线方程为x－y＋1＝0.(

)解析(3)当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，只有一个交点，弦长不存在.答案(1)√

(2)√

(3)×

(4)√答案D3.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝(

) A.9 B.8 C.7 D.6

解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.

答案B解析由抛物线C：y2＝4x的焦点为(1，0)，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，

答案25.(2018·北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.答案(1，0)考点一直线与抛物线位置关系的判断【例1】

已知抛物线y2＝4x，直线l过点P(－2，1). (1)当直线l的斜率k为何值时，直线l与抛物线分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点？ (2)写出过点P的抛物线的切线方程.

解(1)当k＝0时，直线与x轴平行，此时直线与抛物线只有一个公共点；

当k≠0时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(2k＋1)2，规律方法用代数法解决解析几何问题，由方程解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系.【训练1】

已知抛物线y2＝x，直线l过点(0，1)，写出直线l与抛物线相切时l的方程.解当直线l的斜率k不存在时，直线l：x＝0与抛物线相切.当直线l的斜率k存在时，l的方程为y－1＝kx，当k＝0时，直线l：y＝1与抛物线相交；综上过点(0，1)与抛物线y2＝x相切的方程为x＝0或x－4y＋4＝0.考点二与抛物线弦长(中点)有关的问题【例2】

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程； (2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.解

(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，规律方法

(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解. 【训练2】

(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.

解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).

设A(x1，y1)，B(x2，y2).因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.考点三与抛物线有关的探究性问题【例3】

(2018·上海卷)设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2，0)，直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x(0≤x≤t，y≥0)，l与x轴交于点A、与Γ交于点B，P，Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离； (2)设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； (3)设t＝8，是否存在以FP，FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.解(1)由抛物线的性质可知点B到点F的距离为t＋2.规律方法这种存在型探究问题：一般假设存在通过推理计算(如解方程或不等式)，求出变量的值或范围，否则说明不存在.(1)解设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由题意可知，抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2，∴抛物线D的方程为y2＝4x.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由O为PQ的中点，得点Q的坐标为(－4，0).当l垂直于x轴时，由抛物线的对称性知∠AQP＝∠BQP；当l不垂直于x轴时，