数学单元复习函数及其表示

函数及其表示

函数映射两集合A,B设A,B是两个_________设A,B是两个_________对应关系f:A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有_________的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的_____一个元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应名称称_______为从集合A到集合B的一个函数称对应_______为从集合A到集合B的一个映射非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→Bf:A→B1.函数与映射的概念2.函数的定义域、值域、相等函数(1)定义域在函数y=f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的_______.(2)值域函数值的集合____________叫做函数的值域.(3)相等函数如果两个函数的_______相同，并且_________完全一致，则这两个函数为相等函数.

定义域{f(x)|x∈A}定义域对应关系3.函数的表示方法表示函数的常用方法:_______、_______和_______.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因_________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值域等于各段函数的值域的_____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.解析法列表法图象法对应关系并集并集1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选B.A中定义域不对应；D中值域不对应；C中对一个x值有两个y值与之对应，不符合函数的定义.故选B.2.给出四个命题:①函数是其定义域到值域的映射；②是一个函数；③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线；④与g(x)=x是相等函数.其中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选A.由函数的定义知①正确；因为使成立的x值不存在,故②不正确；y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,故③不正确；函数与g(x)=x的定义域不同,故④不正确.3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},则其值域为_______.【解析】列表如下由表知,函数的值域为{-1,0,3}.答案：{-1,0,3}4.函数的定义域为________.【解析】由得函数的定义域为{x|x≥-1且x≠0}.答案：{x|x≥-1且x≠0}5.设函数则f(f(-4))=_____.【解析】∵x=-4<0，∴f(-4)=()-4=16，因为x=16>0，所以f(16)==4.答案：4

考向1求函数的定义域【典例1】(1)(2013·宁波模拟)若则f(x)的定义域为_________.(2)已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，则f(x)的定义域为_________.【思路点拨】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解即可.(2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式求解.【规范解答】(1)要使函数有意义，则有即得0<2x+1<1,∴-<x<0,故所求函数的定义域为(-,0).答案：(-,0)(2)∵f(2x)的定义域为［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2，故f(x)的定义域为［,2］.答案：［，2］【变式备选】(1)函数的定义域是________.(2)已知函数f(x)的定义域为［1,2］，则函数的定义域是_____.【解析】(1)要使函数有意义，必须有即∴-3<x<0或2<x<3.答案：(-3,0)∪(2,3)(2)由使函数有意义及f(x)的定义域可知∴≤x<1.答案：［,1)考向2求函数的解析式【典例2】(1)已知f()=x2+5x,则f(x)=________.

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.(3)已知f(x)+2f()=x(x≠0),f(x)=_______.【思路点拨】(1)用换元法.(2)已知函数类型,用待定系数法求解.(3)用代x,构造方程组求解.(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2得c=2.f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即2ax+a+b=x-1.∴解得a=,b=-.∴答案：(3)∵f(x)+2f()=x,∴f()+2f(x)=,解方程组得答案：【拓展提升】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)解方程组法：已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【变式训练】(1)求下列函数的解析式.①已知f(+1)=lgx,求f(x)；②2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.【解析】(1)①令则∴即②∵2f(x)-f(-x)=lg(x+1),∴2f(-x)-f(x)=lg(1-x),解方程组得(2)根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x≤1).∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴解得∴左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1)；同理,x≥3时，函数的解析式为y=x-2(x≥3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a＜0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a+2=1,a=-1,∴1≤x≤3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3),综上，函数的解析式为已知函数f(x)=则f(x)-f(-x)＞-1的解集为()(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)(B)［-1,-)∪(0,1］(C)(-∞,0)∪(1,+∞)(D)［-1,-］∪(0,1)考向3分段函数及其应用【典例3】【规范解答】

选B.①当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,∴f(x)-f(-x)＞-1化为-2x-2＞-1，得x＜-，则-1≤x＜-.②当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，此时，f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1,∴f(x)-f(-x)＞-1化为-x+1-(x-1)＞-1,解得x＜，则0＜x≤1.故所求不等式的解集为［-1,-)∪(0,1］.【拓展提升】分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.【提醒】当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.【变式备选】设函数f(x)=若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选B.由已知得解得当x≤0时，由f(x)=x得，x2+2x-2=x，得x=-2或x=1,又x≤0，故x=1舍去；当x＞0时，由f(x)=x得x=2,所以方程f(x)=x有两个解.1.(2012·山东高考)函数的定义域为()(A)［-2,0)∪(0,2］(B)(-1,0)∪(0,2］(C)［-2,2］(D)(-1,2］【解析】选B.因为解得-2≤x≤2且x>-1且x≠0，所以定义域为(-1,0)∪(0,2］.2.(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是()(A)f(x)=|x|(B)f(x)=x-|x|(C)f(x)=x+1(D)f(x)=-x【解析】选C.A.f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x)，满足要求；B.f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足要求；C.f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x)，不满足要求；D.f(2x)=-2x=2f(x)，满足要求.3.(2012·福建高考)设则f(g(π))的