高中数学知识精要（新）.不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精不等式1、不等式的性质:(1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则(若，则）,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减;（2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘:若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若,则或；（4)若，，则；若,，则。特别提醒:如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定，要注意分类讨论.如（1）对于实数中，给出下列命题:①;②；③；④；⑤;⑥；⑦；⑧,则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知,,则的取值范围是______（答：）；(3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.不等式大小比较的常用方法：（1)作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2）作商(常用于分数指数幂的代数式）;（3）分析法；（4）平方法；（5)分子(或分母)有理化;（6)利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法；（8如（1）设，比较的大小(答：当时，(时取等号）；当时,（时取等号）);（2)设，，，试比较的大小（答：）;（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。3.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到:“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。常用的方法为：拆、凑、平方.如(1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，则的最小值是______（答：)；（3）正数满足,则的最小值为______（答:)；4。常用不等式有：(1）(根据目标不等式左右的运算结构选用）；（2)a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如如果正数、满足,则的取值范围是_________（答：）5．一元一次不等式的解法Ⅰ、：⑴若,则；⑵若，则；Ⅱ、:⑴若，则;⑵若，则；5．一元二次不等式的解法=1\＊GB3①化为标准式（二次系数为零）,判断判别式的正负（优先考虑因式分解）,时求根，比较根的大小，写出结论则（Ⅰ)（Ⅱ）若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证若解集为R呢?如:关于x的不等式对x∈R恒成立，则a的取值范围。略解（Ⅰ)（Ⅱ)6．确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直线坐标系中作出直线.②在直线的一侧任取一点,特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点.③将代入Ax+By+C求值若,则包含此点P的半平面为不等式所表示的平面区域，不包含此点P的半平面为不等式所表示的平面区域.也可采用：把二元一次不等式改写成或的形式,前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域。提醒：（1）画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线.（2)表示直线的上方，表示直线的下方。（3）设点,，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧.如已知点A（-2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是__________（答：）7．简单的线性规划：（1）线性规划问题中的有关概念：①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。②关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数;③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解（）叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解;（2）求解线性规划问题的步骤是什么?①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1)线性目标函数z=2x－y在线性约束条件下，取最小值的最优解是____（答：（－1,1））；（2）点（－２，)在直线2x－3y+6=0的上方，则的取值范围是_________（答:)；（3）不等式表示的平面区域的面积是_________（答：8);(4）如果实数满足,则的最大值_________（答：21）（3）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程;②寻找最优解时注意作图规范。8．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是:（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；(3）根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：或)；（2）不等式的解集是____（答：或）；（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______（答：）；(4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是______。（答：）9．分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.如（1）解不等式（答：）；（2）关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为____________(答：）.10．含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上:“综上，原不等式的解集是…”.注意：按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集。提醒:解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论,如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多)但含参数，要分、、讨论。如（1）若，则的取值范围是__________（答：或)；（2）解不等式（答：时，；时，或;时，或）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________(答：（－1,2）)11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）（1)。恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立，则等价于在区间上如（1）设实数满足，当时，的取值范围是______（答:）；（2)不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（答:）;（3)若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____(答:（，））；（4)若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____（答：）；（5）若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围。（答:）（2）.能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______（答:）(3).恰成立问题若不等式在区间上恰成立，则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为。12．含绝对值不等式的性质：同号或有;异号或有.如设，实数满足，求证：13．绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式(答:）；（2)利用绝对值的定义;（3）数形结合；如解不等式（答：）（4）两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。（答：）14．证明不等式的方法：比较法、分