高中数学新课标选修椭圆及其标准方程活页规范训练含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2椭圆2。2。1椭圆及其标准方程双基达标限时20分钟1．设P是椭圆eq\f(x2，25）＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则｜PF1|＋｜PF2|等于（）．A．4B．5C．8D．10解析由椭圆的标准方程得a2＝25，a＝5。由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10.答案D2．已知F1，F2是定点，|F1F2｜＝8，动点M满足｜MF1|＋|MF2｜＝8，则动点M的轨迹是(）．A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析∵｜MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2｜,∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.答案D3．如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()．A．a〉3B．a〈－2C．a>3或a<－2D．a>3或－6〈a〈－2解析由于椭圆焦点在x轴上，∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a2〉a＋6，,a＋6>0，）)即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（（a＋2)（a－3)〉0，，a〉－6.)）⇔a>3或－6〈a〈－2.故选D.答案D4．已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15），则此椭圆的标准方程为________．解析由已知2a＝8，2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15），∴b2＝a2－c2＝16－15＝1,∴椭圆标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1。答案eq\f(y2,16）＋x2＝15．已知椭圆eq\f（x2，20)＋eq\f（y2,k)＝1的焦距为6,则k的值为________．解析由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29。答案11或296．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2)；(2）焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26。解（1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为（0，－2），（0,2)．由椭圆的定义知2a＝eq\r(32＋（2＋2）2）＋eq\r(32＋（2－2）2）＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12。又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq\f（y2，16)＋eq\f(x2，12）＝1。(2)由题意知2c＝10,2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144,因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,169）＋eq\f（y2,144)＝1或eq\f(y2，169）＋eq\f(x2，144）＝1。综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆的焦点是F1,F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q,使得｜PQ｜＝|PF2|,那么动点Q的轨迹是（)．A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线解析如图,依题意:｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a(a>0是常数）．又∵｜PQ｜＝｜PF2｜，∴｜PF1｜＋|PQ｜＝2a，即｜QF1|＝2a。∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案A8．设F1，F2是椭圆eq\f（x2,9)＋eq\f（y2，4）＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且｜PF1|∶|PF2｜＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(）．A．5B．4C．3D．1解析由椭圆方程，得a＝3,b＝2，c＝eq\r(5)，∴|PF1|＋|PF2｜＝2a＝6，又|PF1｜∶|PF2｜＝2∶1,∴|PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，由22＋42＝(2eq\r(5)）2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为eq\f（1,2）｜PF1｜·|PF2｜＝eq\f（1，2)×2×4＝4，故选B.答案B9．若α∈（0，eq\f（π,2))，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为eq\f（x2，\f(1，sinα）)＋eq\f(y2,\f(1，cosα)）＝1。∵椭圆的焦点在y轴上，∴eq\f（1，cosα）〉eq\f（1,sinα)〉0。又∵α∈（0,eq\f（π,2）)，∴sinα>cosα>0，∴eq\f(π，4)<α〈eq\f(π，2）.答案(eq\f(π,4)，eq\f(π，2)）10．椭圆eq\f（x2，12)＋eq\f(y2，3）＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么｜PF1｜是｜PF2|的________倍．解析依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1（－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为（x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知eq\f（x1－3,2）＝0，∴x1＝3。把x1＝3代入椭圆方程eq\f（x2，12）＋eq\f(y2,3）＝1，得y1＝±eq\f（\r（3），2)，即P点的坐标为(3，±eq\f（\r（3）,2))，∴｜PF2|＝|y1|＝eq\f（\r（3)，2).由椭圆的定义知｜PF1｜＋|PF2|＝4eq\r（3）,∴｜PF1｜＝4eq\r(3)－|PF2｜＝4eq\r（3)－eq\f（\r（3),2）＝eq\f(7\r（3)，2)，即｜PF1｜＝7｜PF2|。答案711．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1,F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0）．设焦点F1（－c,0），F2（c，0）(c〉0)．∵F1A⊥F2A，∴eq\o(F1A，\s\up16(→））·eq\o(F2A,\s\up16（→）)＝0，而eq\o(F1A,\s\up16(→））＝（－4＋c，3)，eq\o(F2A,\s\up16(→））＝(－4－c，3)，∴(－4＋c）·（－4－c）＋32＝0,∴c2＝25，即c＝5.∴F1（－5,0）,F2(5，0）．∴2a＝|AF1｜＋|AF2｜＝eq\r（（－4＋5）2＋32)＋eq\r（（－4－5）2＋32）＝eq\r(10）＋eq\r(90）＝4eq\r(10）。∴a＝2eq\r(10)，∴b2＝a2－c2＝（2eq\r（10）)2－52＝15。∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2，40)＋eq\f(y2，15）＝1.12．（创新拓展)如图，在圆C：(x＋1）2＋y2＝25内有一点A（1，0),Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．解由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|＝｜MQ|＋|MC|。又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|