2021-2022学年北京世青中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年北京世青中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知则“复数为纯虚数”是“”的（

）

A．充要条件

B．必要而不充分条件

C．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2.若递增的等比数列满足，则（

）A.6

B.8

C.10

D.12参考答案：D3.已知函数f（x）=﹣lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，e﹣3） C．（﹣1，+∞） D．（e﹣3，+∞）参考答案：D【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用． 【分析】由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论． 【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形， 等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0． 令得x=1． 当时，f'（x）＜0；当1＜x＜e时，f'（x）＞0； 所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h，==e﹣1+h， 从而可得，解得h＞e﹣3， 故选：D． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题． 4.执行如图所示的程序框图，则输出的k值为A.7

B.9

C.11

D.13参考答案：C循环1，；循环2，；循环3，；循环4，；循环5，.选C.

若能发现规律，运用归纳推理，则不必写出所有循环结果，也可得解.5.已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，1）∪（1，3） C．（0，1） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B交集有4个子集，得到A与B交集有2个元素，确定出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A=（0，3），∵B={1，a}，且A∩B有4个子集，即A∩B有两个元素，∴a的范围为（0，1）∪（1，3）．故选：B．6.抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（）A．有最大值2，无最小值 B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2 D．既无最小值，也无最大值参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点B（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点B（0，）时，z取得最小，但B点不在可行域内；故选A8.已知不等式组表示的平面区域为D，若直线l：kx﹣y+1与区域D重合的线段长度为2，则实数k的值为（） A．1 B． 3 C． ﹣1 D． ﹣3参考答案：A9.复数等于A.

B.

C.

D.参考答案：D10.（01全国卷理）函数的反函数是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知都是正实数，函数的图像过点（0,1），则的最小值是

.参考答案：12.设关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是________.参考答案：略13.如右图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为__________。参考答案：14.若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3有三个不同的零点，则函数g（x）=f（x）﹣f（|a|+a+1）的零点个数是

个．参考答案：4【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的零点，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，结合二次函数的图象，问题转化为求f（x）和f（|a|+a+1）的交点个数问题．【解答】解：对于函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，∴y=f（x）的图象关于y轴对称，∴f（0）=4a2﹣3=0，解得：a=±，又由x＞0时，f（x）=x2+2ax+4a2﹣3，其对称轴为x=﹣a，若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2﹣3有三个不同的零点，必有x=﹣a≥0，故a=﹣，∴f（x）=x2﹣|x|，如图示：，f（x）的最小值是f（±）=﹣＜1﹣=f（|a|+a+1），故函数g（x）=f（x）﹣f（|a|+a+1）的零点个数是4个，故答案为：4．15.已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为

.参考答案：16.在中，若则的最大值为

▲

.参考答案：17.如图，PA⊥平面ABC，，，，，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B-EFC的体积为________．参考答案：【分析】作于D，则，从而有，于有【详解】作于D，则，∵平面，∴，∴【点睛】本题考查立体几何体积求法，转化顶点，作高求体积，是计算三棱锥体积常用的一种方法，难度比较简单．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几何证明选讲]如图6，直线AB经过圆O上一点C，且OA=OB,CA=CB,圆O交直线OB于E,D.(1)求证：直线AB是圆O的切线；(2)若，圆O的半径为3，求OA的长.

参考答案：(1)略；(2)5解析：（1）证明：如图4，连接，∵∴，∴是⊙O的切线.（2）解：∵是直径，∴，在Rt△ECD中，∵,∴.∵AB是⊙O的切线，∴，又∵，∴△BCD∽△BEC,∴==，设则，

又，∴，解得：,∵,∴，∴.

略19.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件该产品需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）=．（Ⅰ）写出年利润P（万元）关于产品年产量x（千件）的函数关系式；（Ⅱ）年产量x为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）参考答案：考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当0＜x≤10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；写成分段函数即可；（Ⅱ）分0＜x≤10与10＜x时讨论函数的最大值，从而求最大值点即可．解答：解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10；当x＞10时，P=xf（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x；故P=；（Ⅱ）①当0＜x≤10时，由P′=8.1﹣=0解得，x=9；故当x=9时有最大值P=8.1×9﹣﹣10=38.6；②当10＜x时，由P=98﹣（+2.7x）≤98﹣2=38；（当且仅当=2.7x，即x=时，等号成立）；综上所述，当x=9时，P取得最大值．即当年产量x为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用与基本不等式的应用，属于中档题．20.本小题满分12分）已知，设命题P：函数f（x）＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点；命题Q：函数是增函数.（1）若命题P为真，求实数的取值范围．（2）求使命题“P或Q”为真命题的实数的取值范围．参考答案：略21.(本小题满分12分)已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），等差数列{bn}的公差也为q，且．（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）若数列{bn}的首项为2，其前n项和为Tn，当时，试比较bn与Tn的大小.

参考答案：解：（Ⅰ）由已知可得，

……………1分∵是等比数列，∴.

……………2分解得或.∵，

∴

……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知等差数列的公差为，∴，………………5分

，………7分，

…………………9分当时，；当时，；当时，.

综上，当时，；当时，；当时，.………………12分22.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）设各项均为正数的数列{an}满足.（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想通项。（不需证明）；（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.参考答案：【标准答案】

解：(Ⅰ)因

由此有，故猜想的通项为

对求和得

⑦由题设知

即不等式22k+1＜