2022年湖北省荆州市新沟中学高三数学理联考试题含解析

2022年湖北省荆州市新沟中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f'（x）是f（x）的导函数，且总有f（x）＞xf'（x），则不等式f（x）＞xf（1）的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型；转化思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】根据题意：x＞0时，f（x）＞xf'（x），列出不等式＜0，从而知在x＞0上单调递减；【解答】解：由题意：x＞0时，f（x）＞xf'（x）∴xf'（x）﹣f（x）＜0?＜0?所以知：在x＞0上单调递减；∵f（x）＞xf（1）?＞故x的取值范围为：0＜x＜1故选：B【点评】本题主要考查了导数运算公式，构造新函数判断函数单调性以及函数图形特征，属中等题．2.若集合，集合，则集合的元素的个数为（

）

A.1

B.2

C.3

D.

4参考答案：A略3.如图，已知平面，，A、B是直线上的两点，C、D是平面内的两点，且，，，，．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（▲）A．

B．

C．

D．1参考答案：B，，，，同理为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，又，在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则，设，整理可得：在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆平面平面，，为二面角的平面角，当与圆相切时，最大，取得最小值此时故选

4.已知函数，给出下列命题：（1）必是偶函数；（2）当时，的图象关于直线对称；（3）若，则在区间上是增函数；（4）有最大值.其中正确的命题序号是（

）A.（3）

B.（2）（3）

C.（3）（4）

D.（1）（2）（3）参考答案：A略5.等差数列前项和,,则使的最小的为（

）A．10

B．11

C.12

D．13参考答案：B6.设集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为集合，，所以。7.正项数列前项和为，且（）成等差数列，为数列的前项和，且，对任意总有，则的最小值为（

）A.1

B.2

C.3

D.4

参考答案：B8.下列关于函数的判断正确的是

（

）

①

②是极小值，是极大值

③有最小值，没有最大值

④有最大值，没有最小值

A．①③

B．①②③

C．②④

D．①②④参考答案：A略9.已知某算法的流程图如图所示，输入的数和为自然数，若已知输出的有序数对为，则开始输入的有序数对可能为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B10.若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象如图所示，则的值等于

参考答案：由图知，，，所以周期，又，所以，所以，即，所以，所以，又，所以.12.已知,,,则与的夹角的取值范围是______________.

参考答案：略13.已知，若恒成立，则实数的取值范围是_______．参考答案：∵，，∴，∴．14.已知实数x，y满足则z=的取值范围为

．参考答案：[]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），联立，解得B（5，6），z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵，∴z=的取值范围为[]．故答案为：[]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知，，则与的夹角为

参考答案：60°16.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

.参考答案：317.函数为奇函数，则实数

。参考答案：-1试题分析：因为函数为奇函数，所以，即考点：函数的奇偶性.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求直线到平面的距离；（3）求二面角的正切值．参考答案：【知识点】点到面的距离

二面角

G11（1）略；（2）；（3）.(1)证明:连结,则，又∵,∴平面,∴,而,∴.

(2)取中点为,连结则,∴.

过作直线于点,则平面,∴就是直线到平面的距离.在矩形中,∴在中,直线到平面的距离.

(3)过作于点,则平面,

过作于点,连结,则∴即为所求二面角的平面角,

在中,为中点,∴,在中,.所以二面角的正切值为.【思路点拨】(1)连结,证明平面,∴,而,∴；（2）取中点为,连结则,∴.过作直线于点,则平面,∴就是直线到平面的距离；（3）过作于点,则平面,过作于点,连结,则则即为所求二面角的平面角,即可求得.19.

底面是正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CC1的中点，O是AC、BD的交点。（1）

求证：AC1∥平面BDE；（2）

求证：平面BDE⊥平面ACC1。参考答案：20.(本小题满分12分)已知数列的各项均为正数，记,,

其中.（1）若，且对任意，三个数依次组成等差数列，求数列的通项公式.（2），对任意，三个数依次组成公比为的等比数列.求数列的前项和公式。参考答案：(Ⅰ)因为对任意，三个数是等差数列，所以.

所以,

即.

所以.

.

5分（2）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则

.

所以得

即.

当时，由可得，

所以.

因为，所以.

——9分

即数列是首项为，公比为的等比数列，

则

12分21.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：CN//平面AB1M；（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．参考答案：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．

……1分因为AC=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．

……2分又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1．

……3分因为AM平面ACC1A1，所以BC⊥AM．

……4分

（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1，且∽．……………5分于是有．由已知，有．因为BB1=CC1．所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．

……6分所以CN//MP．

……7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，

……8分所以CN//平面AB1M．

……9分（Ⅲ）因为

BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，所以

以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．…10分因为

，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，．

……11分设平面的法向量，则，．即

令，则，即．

……12分又平面MB1C的一个法向量是，

所以

．

……13分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以

二面