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文档简介
2021年广西壮族自治区贵港市贵钢中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C略2.已知向量,,若与垂直,则的值为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B3.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD所成的角为60°;
④△AB与CD所成的角为60°
其中正确的序号是
.(写出你认为正确的结论的序号)参考答案:答案:①②④4.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则对任意,函数的零点个数至多有(
)A.3个
B.4个
C.6个
D.9个参考答案:A点睛:复合函数的零点问题的求解步骤一般是:第一步:现将内层函数换元,将符合函数化为简单函数;第二步:研究换元后简单函数的零点(一般都是数形结合);第三步:根据第二步得到的零点范围转化为内层函数值域,进而确定的个数.5.不等式的解集为(
)A.
B.C.
D.参考答案:B6.已知直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,
为C的实轴长的2倍,C的离心率为(
)A.
B.
C.2
D.3参考答案:B略7.函数的定义域为 (
)A.[-3,3] B.(-1,3)
C.(0,3)
D.(-1,0)(0,3]参考答案:D8.函数的图象与函数的图象有三个不相同的交点,则实数的取值范围是(
)A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)参考答案:B9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0),(1,2,0),(0,2,2),(3,0,1),则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为A.
B.
C.
D.参考答案:A设O(0,0,0),A(0,2,0),B(0,2,2),C(0,0,1),易知该四面体中以平面为投影面的正视图为直角梯形OABC,其中OA=1,AB=2,OA=2,所以S=3.10.定义一种运算“”,满足
,例如:
,①
②
③
④
(其中)则上述等式成立的是(
)A.③
B.③④
C.①④
D.①②④参考答案:D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面内与两定点距离之比为定值的点的轨迹是_________________.参考答案:圆
12.已知正态分布的密度曲线是,给出以下四个命题:①对任意,成立;②如果随机变量服从,且,那么是R上的增函数;③如果随机变量服从,那么的期望是108,标准差是100;④随机变量服从,,,则;其中,真命题的序号是
________
.(写出所有真命题序号)参考答案:①②④13.已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标、满足不等式组,则的取值范围是
.参考答案:[1,6]先根据约束条件画出可行域,再利用向量的数量积表示出,利用z的几何意义求最值即可.N(x,y)的坐标x,y满足不等式组表示的可行域如图:目标函数为由向量的数量积的几何意义可知,当N在(3,0)时,取得最大值是(3,0)·(2,1)=6,在(0,1)时,取得最小值为(2,1)·(0,1)=1,所以的取值范围是[1,6],所以答案应填:[1,6].考点:1、简单线性规划;2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识,属于基础题.文科考查线性规划问题都考查的比较浅,难度不大这与理科有所区别,本题就具备这个特点,只是目标函数稍加变动.解线性规划问题的一般步骤:一是作出可行域;二是作出目标函数对应的过原点的直线;三是平移到经过平面区域时目标函数的最值.14.递减等差数列{an}的前n项和Sn满足S5=S10,则欲使Sn最大,则n=______.参考答案:7或8
15.已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为
.参考答案:4【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】综合题;函数的性质及应用.【分析】:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.【解答】解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1.g(x)与h(x)=﹣f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;g(x)与φ(x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.故答案为:4.【点评】本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.16.已知向量,,且,则=.参考答案:略17.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为F(10,0),两条渐近线的方程为y=±,则该双曲线的标准方程为.参考答案:【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题.【分析】由题意得,c=10,=,100=a2+b2,解出a和b的值,即得所求的双曲线的标准方程.【解答】解:由题意得,c=10,=,100=a2+b2,∴a=6,b=8,故该双曲线的标准方程为,故答案为.【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.设函数,(1)当时,求函数的单调区间;(2)当,时,求证:.参考答案::(1)函数的定义域为,当时,,令:,得:或,所以函数单调增区间为:,.,得:,所以函数单调减区间为,.(2)若证,成立,只需证:,即:当时成立.设.∴,显然在内是增函数,且,,∴在内有唯一零点,使得:,且当,;当,.∴在递减,在递增.,∵,∴.∴,∴成立.19.在如图所示的多面体EF-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,AB=4,∠BAD=60°,AC,BD相交于O,EF∥AC,E在平面ABCD上的射影恰好是线段AO的中点H.(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACF;(Ⅱ)若直线AE与平面ABCD所成的角为,求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.参考答案:解:(Ⅰ)取AO的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABCD∵BD在平面ABCD内,∴EH⊥BD又菱形ABCD中,AC⊥BD且EH∩AC=H,EH、AC在平面EACF内∴BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,以H为原点,如图所示建立空间直角坐标系H﹣xyz∵EH⊥平面ABCD,∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角,即∠EAH=45°,又菱形ABCD的边长为4,则各点坐标分别为,E(0,0,)易知为平面ABCD的一个法向量,记=,=,=∵EF∥AC,∴=设平面DEF的一个法向量为(注意:此处可以用替代)即=,令,则,∴∴平面DEF与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.
20.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.(1)设为参数,若,求直线的参数方程;(2)已知直线与曲线交于,设,且,求实数的值.参考答案:(1)直线的极坐标方程为所以,即因为为参数,若,代入上式得,所以直线的参数方程为(为参数)(2)由,得由代入,得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立得(*),设点分别对应参数恰为上述方程的根则,由题设得,则有,得或因为,所以.21.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(β为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.(Ⅰ)将曲线C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)已知直线l的参数方程为(<α<π,t为参数,t≠0),l与C1交与点A,l与C2交与点B,且|AB|=,求α的值.参考答案:【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)将曲线C1的方程化为普通方程,然后转化求解C1的极坐标方程.(2)曲线l的参数方程为(<α<π,t为参数,t≠0),化为y=xtanα.由题意可得:|OA|=ρ1=2cosα,|OB|=ρ2=4cosα,利用|AB|=,即可得出.【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(β为参数).可得(x﹣1)2+y2=1,x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.(2)曲线l的参数方程为(<α<π,t为参数,t≠0),化为y=xtanα.由题意可得:|OA|=ρ1=2cosα,|OB|=ρ2=4cosα,∵|AB|=,∴|OA|
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