2021年湖南省衡阳市 县西渡蒸中学高二数学理期末试题含解析

2021年湖南省衡阳市县西渡蒸中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)＝x2＋2bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件：为事件A，则事件A发生的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：C2.不在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是

（

）

A（0，0）

B（1，1）

C（0，2）

D（2，0）参考答案：D略3.与两圆及都外切的圆的圆心在（

）A.一个椭圆上

B.双曲线的一支上

C.双曲线上 D.一个圆上参考答案：B4.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数r的绝对值应接近于（

）A.0

B.0.5

C.2

D.1参考答案：D略5.各项为正数的等比数列，，则（

）A．5

B．10

C．15

D．20参考答案：C6.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．

【专题】压轴题；新定义．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．7.将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为(

)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B略8.设点（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.设，，若，则实数的取值范围是

（） A．

B．

C．

D．参考答案：C10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

如图，是一程序框图，则输出结果为________．参考答案：12.已知数列｛｝的前n项和是,则数列的通项an=__

参考答案：13.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=_________．参考答案：14.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为______▲_______.参考答案：略15.四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为

_

．参考答案：16.用反证法证明命题“对任意、”，正确的反设为

参考答案：存在,17.如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为

．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若等差数列{bn}的前n项和为Tn，且，，求数列的前n项和Qn．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为3、公比为3的等比数列，即求解通项公式；（2）由（1）可得，得到，利用裂项法，即可求解。【详解】（1）当时，得，由，得，两式相减得，又，∴，又，∴，显然，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；（2）设数列的公差为，则有，由得，解得，∴，又，∴==．【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.19.（13分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．参考答案：【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用；数列的应用．【专题】计算题；应用题．【分析】（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n

…=…=0.1n2+n+14.4…（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…=++1≥2+1=2×1.2+1=3.4仅当，即n=12时，等号成立．…（13分）故：汽车使用12年报废为宜．…（14分）【点评】本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．20.支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．（1）通过现场调查12位市民得知，其中有10人使用支付宝．现从这12位市民中随机抽取3人，求至少抽到2位使用支付宝的市民的概率；（2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有，，的概率获得0.1，0.2，0.3元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影响．若某位市民在一天内使用了2次支付宝，记X为这一天他获得的奖励金数，求X的概率分布和数学期望．参考答案：（1）至少抽到2位使用支付宝的市民的概率为．（2）X的概率分布如下：X0.20.30.40.50.6P

EX＝0.2×＋0.3×＋0.4×＋0.5×＋0.6×＝．21.（12分）设：实数满足，其中，：实数满足.（1）当，且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.参考答案：,（1）；（2）,.22.已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作

平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.

参考答案：解（1）证明：如图4，连接AD交α于G，连接GF,∵AB∥α，面ADB∩α=GFA