湖南省常德市第九中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省常德市第九中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．2.左图是一个算法的流程图，最后输出的W=(

)参考答案：B3.已知集合，函数的定义域为集合B，则A∩B=（）A.[－2,1] B.[－2,1) C.[1,3] D.(1,3]参考答案：B【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。4.已知函数在处取得最大值，则下列结论中正确的序号为：①；②；③；④；⑤（

）A．①④

B．②④

C.②⑤

D．③⑤参考答案：B5.某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图的矩形如图②，其中则该几何体的体积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：考点：1.三视图；2.斜二测画法.【方法点睛】本题主要考察了几何体的体积以及斜二测画法下的直观图，属于基础题型，根据图形可得该几何体是四棱锥，并且高等于4，所以重点转化为求底面面积，而在斜二测画法下，，这样根据直观图的面积，可以直接求实际图形的面积.6.函数的图像为

参考答案：A略7.函数的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.椭圆的焦距为

A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：C由椭圆的方程可知，所以，即，所以焦距为，选C.9.设是函数的零点．若，则的值满足（

）A．

B．C．

D．的符号不确定参考答案：C10.若直线y=a与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．{} B．（0，） C．（，e） D．（，1）∪{}参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】先求得函数y=||的定义域为（0，+∞），再分段y=||=，从而分别求导确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：函数y=||的定义域为（0，+∞），y=||=，当x∈（0，e﹣1）时，y′=，∵x∈（0，e﹣1），∴lnx＜﹣1，∴y′=＜0，∴y=||在（0，e﹣1）上是减函数；当x∈（e﹣1，+∞）时，y′=﹣，∴当x∈（e﹣1，）时，∴y′＞0，当x∈（，+∞）时，∴y′＜0，∴y=||在（e﹣1，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数；且||=+∞，f（e﹣1）=0，f（）=，||=0，故实数a的取值范围为（0，），故选B．【点评】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为_________；参考答案：略12.在中，,则的面积等于_________.参考答案：13.定义2×2矩阵，则函数的图象在点(1,－1)处的切线方程是_______________.

参考答案：14.若幂函数的图像经过点，则

.

参考答案：略15.已知

在[-2，2]上有最小值3，那么在[-2，2]上的最大值是

参考答案：4316.参考答案：17.椭圆（为参数）的焦距为______.参考答案：6【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将变形为，平方相加消去参数θ可得：，所以，c3，所以，焦距为2c＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设数列的前项和为，且。数列满足⑴求数列的通项高三；⑵证明：数列为等差数列，并求的前n项和Tn；参考答案：⑴当n＝1时，a1＝s1＝21－1＝1;当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1

…………3分因为a1＝1适合通项高三an＝2n－1,所以an＝2n－1(nN*)

…………4分⑵因为bn＋1－2bn＝8an,所以bn＋1－2bn＝2n＋2

即，

…………6分,所以是首项为1，公差为2的等等差数列。

…………7分

所以，所以bn＝(2n－1)×2n

……………8分19.（本小题满分12分）已知函数．(I)求函数的单调区间；(Ⅱ)函数在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；(Ⅲ)若任意的∈(1，2)且≠，证明：(注：参考答案：.（Ⅰ）.

……………2分

，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.…………4分（Ⅱ）先求在的最大值.由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，故.………………6分由可知，，，所以，，，

故不存在符合条件的，使得.

………………8分

（Ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递减，只需证明，都成立，也可得证命题成立．………………10分

设，，在上是减函数，设，在上是增函数，综上述命题成立.………………12分

另解:当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，，，.………10分由导数的几何意义有对任意，．…………12分20.在等差数列{an}中，，在正项等比数列{bn}中，．（1）求{an}与{bn}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求出；（2）利用错位相减法和等比数列的前n项和求和公式即可求出。【详解】（1）等差数列的公差设为，可得，即；在正项等比数列的公比设为，，可得，即；（2），，，两式相减可得，化简可得．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和求和公式。熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式是解题的关键。21.（本小题满分12分）

如图，在边长为4的菱形中，．点分别在边上，点与点不重合，，．沿将翻折到的位置，使平面⊥平面．(1)求证：⊥平面；(2)当取得最小值时，请解答以下问题：(i)求四棱锥的体积；

(ii)若点满足=

()，试探究：直线与平面所成角的大小是否一定大于?并说明理由．

参考答案：（Ⅰ）证明：∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，···············································································1分∵

，∴．

∵平面⊥平面，平面平面，且平面，∴平面,

∵

平面，∴.····················3分

∵

，∴平面.·························································4分（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系.········································5分（ⅰ）设

因为，所以为等边三角形，故，.又设，则，.所以，，，故，···································································6分所以，当时，.此时，········································7分由（Ⅰ）知，平面所以.···············8分Ks5u（ⅱ）设点的坐标为，由（i）知，，则，，，.所以，，··················································9分∵，∴．

∴，∴．

················10分设平面的法向量为，则．∵，，∴，取，解得：，所以.·················································11分设直线与平面所成的角，∴．·····························12分又∵∴．··················································································13分∵，∴．因此直线与平面所成的角大于，即结论成立．

14分22.（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150(Ⅰ)若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？(Ⅱ)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望。附：，。

参考答案：解：（I），…1分，…………3分当

时，即某天售出8箱水的预计收益是186元。……………………4分(Ⅱ)⑴设事件

A

为“学生甲获得奖学金”，事件