2023学年完整公开课版抛物线

第七节抛物线(二)备考方向明确知识链条完善高频考点突破课堂类题精练解题规范夯实备考方向明确复习目标学法指导1.抛物线与其他曲线的相关问题.(1)抛物线与圆的相关问题.(2)抛物线与双曲线的相关问题.(3)抛物线与椭圆的相关问题.(4)抛物线与直线的相关问题.2.与抛物线相关的定值、定点及证明问题.1.抛物线与其他曲线相关的综合问题是解析几何的重要内容,也是高考命题的亮点,学习这部分内容要注意加强运算能力、分析问题、解决问题的能力.2.定点问题常用解法有两种:(1)引进参数法;(2)特殊到一般法.3.定值问题常涉及直线、圆锥曲线、向量等问题.解决本类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”.知识链条完善网络构建一、直线与抛物线的位置关系1.直线与抛物线相交是解析几何中一类重要问题,解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题.2.涉及弦的中点问题,可以利用判别式和根与系数的关系加以解决,也可利用“点差法”解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”可得出过中点的弦的直线的斜率.比较两种方法,用“点差法”计算量较少,此法在解决有关存在性的问题时,要结合图形和判别式Δ加以检验.拓展空间1.理解辨析直线与抛物线相交时,若直线过抛物线的焦点,则可考虑运用抛物线的定义进行求解.直线与抛物线相切时,可借助直线方程与抛物线方程联立,得关于x(或y)的一元二次方程,由判别式等于零进行解题.2.相关结论(1)抛物线y2=2px与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.(2)抛物线上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).(3)过抛物线外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x0).二、抛物线中的定值、最值问题1.抛物线中的定值问题在解析几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题.解决这类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒成立的.2.抛物线中的最值问题解决抛物线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来解,非常巧妙;二是代数法,将抛物线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等求解最大值或最小值.拓展空间1.理解辨析定值、最值问题的实质就是求值,依据题目条件列出等量关系式进行求值,是解题的基本思路.2.相关结论在求解抛物线或圆锥曲线问题时,常借助向量这一工具进行解题.应熟悉以下结论:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.温故知新C2.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是

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3.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=

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答案:124.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为

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答案:y=x高频考点突破考点一直线与抛物线的相交问题如图,A,B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点,线段AB的中点M在直线x=t(t>0)上.(1)当t=1时,求|FA|+|FB|的值;[例1](2)记|AB|的最大值为g(t),求g(t).反思归纳(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,解题时一般要用到根的判别式或根与系数的关系.迁移训练1.已知抛物线C:y2=4x焦点为F,直线MN过焦点F且与抛物线C交于M,N两点,P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN,连接PM交y轴于Q点,过Q作QD⊥MF于点D,若|MD|=2|FN|,则|MF|=

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2.已知F是抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点,点P(1,m)是抛物线上一点,且|PF|=2,直线l过定点(4,0),与抛物线T交于A,B两点,点P在直线l上的射影是Q.(1)求m,p的值;(2)若m>0,且|PQ|2=|QA|·|QB|,求直线l的方程.考点二抛物线中最值问题反思归纳与抛物线有关的最值问题,一般需要通过数形结合或利用函数思想求最值,常见方法如下:(1)定义转化法与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题,一般都是利用抛物线的定义,将到准线的距离转化为到焦点的距离,然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件,这样就能避免繁琐的代数运算.(2)平移转化法若抛物线上的点P到直线l的距离最小,则过点P与l平行的直线与抛物线相切,且最小距离为两平行直线间的距离,所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线,然后求两平行直线间的距离.(3)函数法与抛物线相关的面积最值、距离最值等问题,可通过设置合适的变量,借助两点间距离公式、点到直线间距离公式、面积公式等建立目标函数,通过求目标函数的最值来解决相关问题,解题时常设点的坐标、直线斜率作为自变量,而题中所求作为目标函数.迁移训练1.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是

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2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.(1)求抛物线C的方程;考点三抛物线中定点、定值问题已知抛物线C:x2=4y,直线l1与C相交于A,B两点,线段AB与它的中垂线l2交于点G(a,1)(a≠0).(1)求证:直线l2过定点,并求出该定点坐标;[例3](2)设l2分别交x轴,y轴于点M,N,是否存在实数a,使得A,M,B,N四点在同一个圆上,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.反思归纳(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程,要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程,如果是双参数,要注意这两个参数之间的相互关系.(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确,即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.迁移训练考点四抛物线与圆锥曲线的相关问题[例4]

(2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;反思归纳解析几何的方法就是用坐标进行代数运算,但是未知的参数太多会使运算量加倍.本题中利用一个参数设抛物线上的点的坐标,利用中点坐标公式得出中点坐标,减少了参数个数.迁移训练D答案:±1考点五易错辨析易错分析(0,2)点的位置易被忽略,定点的位置不同,结果也不同.解题规范夯实圆锥曲线间的综合问题(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.解题规范规范要求:第一步:根据题中条件找到a,b,c的关系式解得a,b.第二步:根据条件设直线方程.第三步:直线方程分别与曲线C1,C2联立,表示点P,Q的坐标.第四步:利用向量转化条件AP⊥AQ得到关于k的方程,求解参数.第五步:检验,写出结论.[规范训练]

(2019·北京卷)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(1)解:由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.课堂类题精练类型一直线与抛物线的相交问题C1.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于(

)(A)2或-1 (B)-1 (C)2 (D)3A3.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为(

)(A)18 (B)24 (C)36 (D)48CB类型二抛物线中最值问题5.已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为(

)(A)1 (B)2 (C)-1 (D)8A6.已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P为C上一点,M是线段PF的中点,则直线OM的斜率的最大值为

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答案:1(1)求该抛物线的标准方程;(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与x轴的交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.类型三抛物线中定点、定值问题9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点(2,a)到焦点F的距离为3.(1)求抛物线的方程;(2)设动直线l与抛物线C相切于点A,且与其准线