宋怀波第6讲：图像变换

第3章图像变换3.1傅里叶变换3.2离散余弦变换3.3小波变换及其应用1第3章图像变换第3章图像变换图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，图像本身所在的域称为空间域（SpaceDomain）。图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（SpatialFrequency）。2第3章图像变换3.1 背景例3.1:函数分解函数系数具有重要意义分解和合并的过程可逆1.由下自上分辨率逐渐增加；2.由下自上细节逐渐增加。3第3章图像变换图像频谱分布示意图直流成分低频成分高频成分高频成分4第3章图像变换3.2.2傅立叶变换性质例3.5：平移性质5第3章图像变换3.2.1傅立叶变换定义频率域由傅立叶变换和频率变量(u,v)定义的空间基本性质(中心点平移后)（1）变化最慢的频率成分(u=0,v=0)对应一幅图像的平均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素6第3章图像变换傅立叶变换注意的问题两个缺点：(1)要进行复数运算，计算比较费时(2)很多图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚。解决方法：7第3章图像变换第3章图像变换 3.1 背景 3.2 傅立（里）叶变换和频率域

3.3 离散余弦变换 3.4沃尔什变换 3.5MatLab函数8第3章图像变换3.3离散余弦变换简介傅立叶变换计算的对象是复数，计算速度慢，但功能强大为了提高计算速度，提出了计算对象是实数的变换，如离散余弦和沃尔什等变换余弦变换应用广泛图像压缩编码语音信号处理…9第3章图像变换3.3离散余弦变换二维离散余弦变换定义正变换10第3章图像变换3.3离散余弦变换二维离散余弦变换定义反变换11第3章图像变换3.3离散余弦变换离散余弦变换的优点运算速度快、易于实现等优点，它的快速算法已可由专用芯片来实现，因而被广泛采用。研究较早，技术成熟，允许将88图像的空间表达式转换为频率域，只需少量数据来表示图像。硬件和软件中都容易实现。目前国际上已经制订了基于离散余弦变换的静止图像压缩标准JPEG和运动图像压缩标准MPEG。12第3章图像变换3.3离散余弦变换将源图像划分为若干个子块，每个子块包含8×8个像素

13第3章图像变换3.3离散余弦变换8x8像素子块的DCT变换14第3章图像变换3.3离散余弦变换MATLAB中有两个二维离散变换函数:DCT2

反变换则为IDCT2

15第3章图像变换3.3离散余弦变换例子:离散余弦变换1.变换系数由左上角开始减小2.信息可用较少的系数表达，编码的效率高16第3章图像变换3.4沃尔什变换例:几种变换比较原始图像傅立叶变换离散余弦变换沃尔什变换17第3章图像变换第3章图像变换 3.1 背景 3.2 傅立（里）叶变换和频率域

3.3 离散余弦变换

3.5小波变换18第3章图像变换3.5小波变换-----数学显微镜首先由Morlet在1974年提出，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，但未得到数学家的认可。80年代，Stromberg证明了小波函数的存在，构造了第一个类小波基。1984年法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现付立叶变换难以达到要求，因而引入小波的概念。1986年，数学家Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与Mallat合作建立了构造小波基的统一方法。1987年，Mallat将计算机视觉领域的多尺度分析引入到小波分析中。Daubechies《TenLecturesonWavelets》19第3章图像变换第3.5章小波与小波变换目录3.5.1小波介绍3.5.1.1小波简史3.5.1.2小波概念3.5.1.3小波分析3.5.1.4小波定义3.5.2哈尔函数3.5.2.1哈尔基函数3.5.2.2哈尔小波函数3.5.2.3函数的规范化3.5.2.4哈尔基的结构3.5.3哈尔小波变换3.5.4规范化算法3.5.5二维哈尔小波变换3.5.5.1二维小波变换举例3.5.5.2二维小波变换方法20第3章图像变换3.5.1小波介绍小波(wavelet)是什么在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数具有有限的持续时间和突变的频率和振幅在有限的时间范围内，它的平均值等于零21第3章图像变换持续宽度相同振荡波波与小波的差异：22第3章图像变换3.5.1小波介绍(续1)部分小波许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如：Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的图3.5-1部分小波23第3章图像变换3.5.1小波介绍(续2)1807:JosephFourier

傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式小波简史小波变换(wavelettransform)是什么老课题：函数的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform24第3章图像变换3.5.1小波介绍(续3)只有频率分辨率而没有时间分辨率；可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候缺点25第3章图像变换3.5.1小波介绍(续4)1909:AlfredHaar发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波26第3章图像变换3.5.1小波介绍(续5)1945:Gabor开发了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的时间-频率关系图

27第3章图像变换3.5.1小波介绍(续6)1980：Morlet20世纪70年代，法国地球物理学家Morlet提出小波变换的概念。20世纪80年代,开发了连续小波变换1986：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数用缩放与平移均为2j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展28第3章图像变换3.5.1小波介绍(续7)1988：Mallat算法Mallat提出多分辨率概念，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位29第3章图像变换3.5.1小波介绍(续8)小波理论与工程应用Daubechies最先揭示了小波变换和滤波器组间的内在关系，使离散小波分析变成为现实Coifman和Wickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献自从Mallat和Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系后，小波分析在信号处理中得到极其广泛的应用30第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析小波分析/小波变换目的：获得时间和频率域之间的相互关系小波变换通过平移母小波获得信号的时间信息通过缩放母小波的尺度获得信号的频率特性31第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续1)连续小波变换傅立叶分析用一系列不同频率的正弦波表示一个信号一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数小波分析用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好32第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续2)CWT的变换过程示例，可分为5步小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较计算系数C——该部分信号与小波的近似程度；C值越高表示信号与小波相似程度越高小波右移k得到的小波函数为ψ(t-k)

，然后重复步骤1和2，……直到信号结束扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)

重复步骤1~4图3.5-3连续小波变换的过程33第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续2)小波变换的粗略解释34第3章图像变换尺度a较大距离远视野宽概貌观察尺度a较小距离近视野窄细节观察分析频率低分析频率高多分辨分析由粗到精35第3章图像变换小波变换的多分辨分析特性：不同a值下小波分析区间的变化不同a值下分析小波频率范围的变化36第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续3)连续小波变换用下式表示该式含义：信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之积在信号存在的整个期间里求和CWT变换的结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子和位置的函数离散小波变换类似连续小波变换37第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续4)图3.5-5离散小波变换分析图DWT得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图3.5-5图(a)是使用Gabor开发的短时傅立叶变换得到的图(b)是使用Morlet开发的小波变换得到的38第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续5)执行DWT的有效方法用Mallat开发的滤波器，称为Mallat算法DWT的概念见图3.5-6。S表示输入信号；通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号图3.5-6双通道滤波过程A表示信号的近似值，大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量D表示信号的细节值，小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量39第3章图像变换图像小波变换的正变换正变换依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为4个四分之一大小的图像。40第3章图像变换41第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续6)小波分解树与小波包分解树由低通滤波器和高通滤波器组成的树原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号可进行多级分解。小波分解树对信号的高频分量不再继续分解，对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较低的低频分量小波包分解树

不仅对低频分量进行分解，对高频分量也进行分解，不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量42第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续7)图3.5-7小波分解树43第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续8)图3.5-8三级小波包分解树44第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续9)图3.5-9降采样过程注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍如果原始信号的数据样本为1000个，滤波后的数据为2000个。根据奎斯特采样定理，采用降采样的方法，每个通道中每两个样本数据中取一个45第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续10)小波重构重构概念把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构两个过程在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在小波重构时也包含升采样和滤波两个过程46第3章图像变换3.5.1小波介绍——小波分析(续11)图3.5-10小波重构方法图3.5-11升采样的方法47第3章图像变换3.5.2哈尔函数哈尔基函数

基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号，如用基函数的加权和表示哈尔基函数定义在半开区间[0，1)上的一组分段常值函数集生成矢量空间V0的常值函数48第3章图像变换3.5.2哈尔函数(续1)生成矢量空间V1的常值函数

49第3章图像变换3.5.2哈尔函数(续2)生成矢量空间V2的常值函数可按照以上方法继续定义哈尔基函数和由它生成的矢量空间Vj，……50第3章图像变换3.5.2哈尔函数(