计算材料学之蒙特卡洛方法论述

计算材料学之蒙特卡洛方法计算材料学主要内容计算材料学涉及材料的各个方面，如不同层次的结构、各种性能等等，因此，有很多相应的计算方法。在进行材料计算时，首先要根据所要计算的对象、条件、要求等因素选择适当的方法。要想做好选择，必须了解材料计算方法的分类。目前，主要有两种分类方法：一是按理论模型和方法分类，二是按材料计算的特征空间尺寸(Characteristicspacescale)分类。材料的性能在很大程度上取决于材料的微结构，材料的用途不同，决定其性能的微结构尺度会有很大的差别。例如，对结构材料来说，影响其力学性能的结构尺度在微米以上，而对于电、光、磁等功能材料来说可能要小到纳米，甚至是电子结构。因此，计算材料学的研究对象的特征空间尺度从埃到米。时间是计算材料学的另一个重要的参量。对于不同的研究对象或计算方法，材料计算的时间尺度可从10-15秒（如分子动力学方法等）到年（如对于腐蚀、蠕变、疲劳等的模拟）。对于具有不同特征空间、时间尺度的研究对象，均有相应的材料计算方法。目前常用的计算方法包括第一原理从头计算法，分子动力学方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。下面主要介绍蒙特卡罗方法：蒙特卡罗方法：一、方法的简介蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。二、方法的思想当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。三、方法的工作过程蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤：北（1创）构忍造或访描述瘦概率换过程召蛋对于莲本身忆就具搏有随社机性扁质的状问题天，如坡粒子抄输运娇问题叶，主嫌要是琴正确乏描述馅和模内拟这辩个概含率过皮程宝，对她于本成来不者是随坟机性际质的勉确定墓性问咱题，勉比如殖计算完定积肃分，夫就必丢须事室先构孤造一翁个人扛为的惨概率荡过程捉，它惭的某瞎些参惨量正加好是不所要税求问巧题的添解。左即要轻将不搅具有图随机政性质截的问吉题转咽化为咱随机定性质识的问猫题。顿张（2弄）实伶现从绝已知绣概率咬分布骡抽样话拆构造归了概槽率模手型以霜后，旺由于拔各种商概率净模型辅都可评以看氧作是思由各正种各育样的家概率伟分布好构成陡的，雪因此什产生施已知雄概率哪分布弄的随纲机变慧量（掀或随只机向旷量）唉，就投成为森实现返蒙特辈卡罗场方法当模拟龄实验爸的基沾本手血段，怖这也籍是蒙父特卡军罗方隙法被鼓称为曾随机距抽样浸的原付因。据最简赛单、针最基碍本、皮最重级要的甩一个静概率乖分布绪是（哈0，岁1）府上的淡均匀贴分布相（或茄称矩煤形分礼布）规。随围机数像就是选具有瞒这种辟均匀准分布蹲的随恭机变对量。验随机悬数序舟列就杨是具站有这肯种分野布的连总体晓的一著个简极单子咸样，矛也就肠是一满个具刑有这押种分桨布的仁相互插独立躺的随浊机变浑数序盟列。腰产生猛随机气数的料问题秋，就牵是从赌这个型分布贺的抽五样问效题。害在计蚊算机临上，牙可以逼用物秀理方详法产碍生随贯机数澡，但麦价格赞昂贵管，不轨能重挥复，使使用垮不便织。另夸一种师方法拣是用贩数学堤递推匙公式弱产生成。这篇样产宵生的牵序列扫，与抄真正谁的随瓜机数阶序列牛不同顽，所菜以称平为伪眨随机辟数，穴或伪缘随机滨数序旁列。顾不过炕，经冲过多缺种统舌计检敲验表鼻明，浩它与把真正刑的随惰机数桶，或企随机价数序它列具但有相仿近的类性质第，因枪此可舱把它喂作为径真正汇的随渗机数哨来使陈用。牧由已叫知分呼布随伶机抽伟样有书各种漫方法酬，与葡从(剂0,场1)池上均闯匀分歪布抽富样不览同，哄这些张方法棕都是众借助壤于随挡机序垒列来余实现制的，口也就艘是说恶，都柿是以闭产生损随机庸数为刺前提孕的。昏由此秋可见梦，随套机数迈是我响们实枕现蒙乓特卡垦罗模集拟的参基本解工具斜。捉（3谣）建史立各停种估省计量晓筑一般虑说来贤，构轻造了抵概率赔模型保并能搏从中凯抽样蜻后，挣即实索现模懂拟实端验后次，我依们就生要确纺定一矛个随普机变克量，挎作为如所要崭求的洞问题兆的解拘，我夏们称图它为垄无偏疏估计滩。建锻立各旬种估逼计量悉，相欲当于咳对模移拟实闭验的搬结果砍进行例考察昨和登乱记，啄从中离得到冠问题毁的解专。初四涌、减劫小方嚼差的产各种喷技巧词辅显然买，当吓给定里置信布度斜α柏后，丛误差稼ε勾由大σ术和需N望决定眨。要俱减小驶ε料，或滚者是治增大保N梨，或辞者是偿减小献方差武σ精2日。在豪σ爹固定哨的情昂况下打，要强把精疯度提他高一狠个数澡量级蜘，试栋验次构数买N肆需增扁加两软个数庙量级单。因击此，五单纯杨增大豪N饮不是客一个名有效削的办抗法。狐另一侦方面洲，如港能减缺小估骂计的拢均方共差醒σ笛，比阿如降睬低一亡半，描那误捐差就倚减小旱一半扰，这换相当愧于袜N屋增大旺四倍蹲的效舞果。辜因此倡降低解方差屋的各冻种技姻巧，锻引起眼了人死们的宵普遍胳注意派。后失面课权程将鞭会介改绍一妙些降陶低方汗差的讯技巧般。喇五兆、洞方法服的脾优势愿1、档能够岗比较营逼辩真地户描述榜具有隔随机榜性质宝的事厚物的效特点巩及物焰理实边验过袭程景从这德个意肆义上浸讲，钳蒙特情卡罗挑方法桑可以肚部分香代替取物理摧实验架，甚聋至可沸以得拢到物俱理实鞠验难萄以得打到的鼓结果钞。用编蒙特辞卡罗守方法危解决斥实际犯问题拍，可蜘以直拾接从斤实际仅问题革本身窗出发优，而辨不从柏方程斥或数朵学表轨达式逝出发刷。它阿有直愉观、倦形象湖的特扫点。炒受几愚何条使件限门制小右在计停算歉s荣维空暴间中驶的任宽一区屯域锦Ds庸上的镰积分升时，侧无论蚂区域数Ds课的形总状多框么特拿殊，框只要傍能给菠出描富述基Ds签的几互何特洞征的珠条件厕，就浩可以畜从浩Ds樱中均梨匀产西生痰N师个点梁得到容积分愧的近礼似值思。草其中伐Ds坚为区扛域浪Ds攻的体宅积。焦这是俭数值邻方法侍难以影作到茅的。瓦另外冤，在裕具有犁随机巧性质灭的问辛题中职，如坦考虑誓的系丧统形酒状很嚼复杂哑，难均以用目一般坏数值美方法宵求解爬，而错使用邮蒙特捞卡罗蜡方法漠，不令会有据原则芦上的们困难或。即3、牲收敛沃速度西与问悦题的茫维数您无关宜由误窜差定待义可络知，胜在给夫定置无信水落平情拾况下才，蒙虎特卡勉罗方态法的扎收敛押速度游为抗萍尿，与虾问题重本身辟的维顷数无恳关。仿维数顿的变扰化，限只引狭起抽墓样时块间及戚估计咐量计零算时奖间的能变化居，不耳影响栽误差侮。也悄就是喝说，仰使用书蒙特绝卡罗罗方法芽时，妻抽取卡的子熔样总团数悄N雁与维硬数犯s膏无关哀。维箩数的掘增加北，除亲了增掩加相晋应的钱计算击量外慕，不睬影响埋问题侍的误庙差。搁这一垂特点齿，决付定了返蒙特套卡罗愉方法概对多监维问瑞题的屑适应麻性。必而一仪般数残值方怀法，秧比如村计算挠定积催分时丙，计导算时秋间随愿维数速的幂锻次方饲而增亏加，箩而且件，由址于分漠点数叶与维米数的历幂次积方成撞正比单，需丰占用恰相当惩数量逗的计老算机妄内存躁，这记些都贿是一蹄般数铃值方覆法计灭算高叹维积削分时茧难以荷克服喂的问辩题。秀犁4腹、如具有脑同时页计算烛多个妹方案沃与多绍个未仙知量姐的能严力艳对于夫那些吩需要慧计算南多个知方案骄的问秃题，芹使用膏蒙特签卡罗觉方法短有时晕不需培要像亦常规薯方法债那样赢逐个权计算什，而塔可以形同时盒计算党所有客的方缩案，围其全救部计睛算量找几乎淹与计壶算一悬个方锻案的炭计算榨量相浸当。逢例如禽，对裙于屏哑蔽层忙为均没匀介要质的纲平板犁几何愈，要谊计算沿若干瘦种厚何度的运穿透丹概率役时，拜只需食计算全最厚晌的一四种情安况，炕其他猎厚度学的穿抗透概垄率在骗计算阀最厚牲一种国情况根时稍福加处照理便防可同次时得妨到。轻另外碧，使起用蒙阁特卡涨罗方虽法还羽可以州同时哑得到海若干付个所恐求量掏。例政如，阅在模这拟粒勤子过午程中煎，可拘以同跌时得率到不掏同区已域的湿通量甜、能驻谱、建角分甲布等章，而崭不像伞常规撕方法弦那样崭，需双要逐从一计牵算所眨求量绕。病误差浪容易佣确定抱对于滔一般浙计算耽方法板，要满给出芬计算浅结果捐与真接值的歼误差咳并不翻是一志件容裂易的零事情索，而踩蒙特鼠卡煮方法贺则不沟然。帝根据阵蒙特适卡罗链方法模的误坑差公傅式，稿可以稼在计僵算所变求量递的同斤时计愧算出倒误差愧。对姓干很蛇复杂形的蒙体特卡祥罗方浑法计狂算问欺题，垫也是驳容易心确定震的。孝一般韵计算你方法尺常存叮在着物有效着位数肝损失房问题款，而钻要解奏决这请一问坚题有扭时相独当困伸难，封蒙特洗卡罗疏方法释则不销存在肆这一屿问题羡。渡6、列程序兵结构遮简单即，易案于实组现斜在计璃算机烫上进惩行蒙氏特卡悼罗方吧法计尝算时舒，程春序结虚构简爬单，弓分块轧性强间，易效于实变现。股7、迎缺点eq\o\ac(○,妇1贤)善收敛霉速度凑慢其。专如前哥所述议，蒙扬特卡躺罗方倦法的袄收敛摔速度战为也，一翻般不沸容裕得到彩精确雹度较悟高的逝近似宿结果搅。对待于维魂数少溜（三坡维以酬下）占的问紫题，匙不如寻其他展方法伪好。eq\o\ac(○,图2广)味误差些具有柿概率揭性畜。核由于唤蒙特寨卡罗妈方法距的误访差是唤在一绕定置唱信水阿平下翼估计甩的，女所以颗它的按误差李具有招概率挽性，宗而不变是一炮般意和义下肌的误的差。eq\o\ac(○,裤3耐)芒在粒董子输亩运问桨题中粪，计妄算结荒果与出系统小大小柿有关滨经验舒表明海，只惜有当凶系统称的大己小与竖粒子穗的平椅均自纷由程嚷可以纺相比锣较时趣（一亡般在绩十个决平均州自由册程左盗右）荷，蒙宝特卡拦罗方稳法计置算的托结果恢较为避满意夕。但研对于电大系坑统或薯小概把率事踢件的徐计算筹问题椒，计匪算结珍果往资往比飞真值难偏低斗。而弓对于仅大系览统，怨数值敢方法矮则是浅适用衬的。珠因此废，在温使用绑蒙特稀卡罗币方法舰时，拴可以材考虑难把蒙珠特卡费罗方施法与真解析缝（或吸数值测）方薪法相步结合像，取否长补缓短，星既能吴解决验解析烈（或屑数值冲）方渣法难胆以解闻决的急问题元，也球可以插解决扭单纯悦使用矿蒙特久卡罗造方法扫难以哭解决斧的问丧题。福这样毒，可伶以发够挥蒙付特卡伙罗方转法的蹄特长裁，使睛其应翠用范柜围更健加广种泛。富六茧、方但法的登实际身应用认蒲丰境氏问若题让为了的求得田圆周抵率惜π搁值，剧在十服九世旦纪后聋期，税有很滩多人辈作了携这样叛的试爆验：集将长菊为疤2l糕的一仁根针蹄任意判投到占地面沿上，刑用针棋与一胸组相孩间距胁离为饭2a疏（撞l眨＜乒a兴）的责平行独线相鹅交的毛频率委代替豆概率败P浊，再楼利用窄准确婚的关祥系式罢求出纸π佩值日其中介Ｎ域为投改计次宰数，押n萍为针纠与平度行线周相交导次数鱼。这困就是逼古典针概率离论中筹著名限的蒲鸣丰氏蜜问题泰。梨解：绸设针胳投到狸地面乱上的冶位置讽可以著用一茧组参木数（烧x刚,额θ冬）来浆描述跳，芝x暮为针谅中心诸的坐碗标，嫁θ攀为针叼与平和行线川的夹蝶角，伙如图纲所示捡。针在平行线间的位置针在平行线间的位置夹任意奔投针炒，就劈是意书味着设x杆与南θ望都是窑任意通取的劈，但俯x扩的范亿围限夜于［烂0英，耕a授］，牌夹角糟θ哭的范偷围限洪于［闻0卧，敞π兆］。肝在此跳情况战下，阳针与狸平行赢线相起交的余数学械条件铺是规如何绘产生树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