习题反常积分的概念和计算

第八章反常积分习题反常积分的概念和计算1.物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做图的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q的点电荷∞产生的电场对距离厂处的单位正电荷的电场力为XF=kq(k为常数)，求距电场中心X处的电位。 qr2解U=+Γkqdr=%。

r2X

X.证明：若Pr以X)dχ和J+γg(X)dχ收敛，k和k为常数，

, ’ 1 2则Prkf(X)+kg(XJdX也收敛，且

a1 2Pr[kf(X)+kg(X)]dX=kJ+γf(X)dX+kJ+γg(X)dX。

a1 2 1a 2a证设J+γf(X)dX=limJAf(X)dX/J+γg(X)dX=limJAg(x)dX.∙则

a A→+γa a A→+γaJ+rk1f(X)+k2g(X)∖dχ=limJA∖kf(χ)+kg(χ)]dχ

a1 2 A→+γa1 2=klimJaf(χ)dχ+klimJag(χ)dχ=kJ+γf(X)dχ+kJ+γg(χ)dχ。A→+γa 2A→+γa Ia aa.计算下列无穷区间的反常积分(发散也是一种计算结果):(1)J+γe-2Xsin5χdχ;0⑵J+γe-3Xcos2χdχ;0⑶J+γ1dX；-ΓX2+X+1⑸J+γXeaχ2dχ(a∈R);0⑺J+γ dχ/-Γ(X2+1)3/2(9)J+r_1_dχ；0X4+1J+γ dχ0(X2+a2)(χ2+b2)(a>0,b>0)；⑹J+r—1—dχ(P∈R)；2XlnPX(8)J+γ——1——dχ；0(eX+e-X)2⑽J+γ上土dχ。01+X2⑷解(I)J+8e_2Xsin5XdX--l∫+∞e-2Xdcos5X=---∖+xe-2Xcos5xdx

0 50 550∫+-∫+8e-2Xdsin5X—---^∫+8e-2Xsin5XdX250 5250所以∫+8e-2Xsin5XdX—-0 29(2)∫+∞e-3Xcos2XdX=L∫+8e-3xdsin2X-0 203—J+8e-3XSm2XdX20所以3-—-∫ e-3χdcos2x4039 …-——∫ e-3Xcos2xdx440+8e-3Xcos2xdx——0 13(3)/+8 1 1dX-8X2+X+1=∫+8 F1YX+- +I2Jdx己∫+8 1J3-81(2x+1丫1+F∖√32x+12 2x+1-arctan———

J3 J3+8-82兀(4)当a丰b时，+8(X2+a2)(X2+b2)dx∫+8dx2ab(a+b)时，∫+8dx(x2+a2)2∫+8dxX2+a2(x2+a2)2此结果等于在∫+8xd(X2+a2∫+8dx时的结果中以b-a代入后的结果。当152G22IJI∫11(101(兀兀b2-a2V2a2ba-b1√10兀+12a32a20a≠ba201)b2—a20兀(1/k兀12a3I1d(∖Vx2+a2x2+b2JX2∖J兀兀兀I2a20x2+a22a34a34a3(5)当a≥0时积分发散；当a<0时，j+∞Xeax2dχ=-L∫+∞eaχ2d(ax2)=-ɪ0 2a0 2a(6)当p41时积分发散；当P〉1时，1 1八、J+∞ dx= (lnX)-p+12xlnpx-p+1(7)令X=tan/视J+∞ 1 -∞(X2+1)3/2(8)令ex=t，则+∞=2dx=JWcostdt=兀2 (ln2)-p+1op-12。1 ,Ltdt 1 1J+∞ dx=J+∞ = +∞=—0(eX+e-x)2 1 (1+12)2 2(1+12)1 4(9)利用第六章第3节习题1(10)的结果J—d—dx=

x4+1丑_lnX+\+x+1+'13larctan(√2X+1)+ arctan(√2X-1)+C，8x2-.2Xx+1 4 4即可得到1 ,兀J+∞ dx=———。0x4+1 2√2(10)J+∞4dx=JIjX+∫+∞4dx，01+X2 01+X2 11+X2对等式右端任一积分(例如第二个积分)作变量代换X=1，则t∫+∞adx=-∫1上Lt，

11+x2 01+12所以∫+∞4x=0。01+x24.计算下列无界函数的反常积分(发散也是一种计算结果):⑴ʃ1Xdx;

0V1—X2⑵JIeX∙5-1口2XdX;⑶J2^_dx;1√x一1⑷ʃ101 .dx;(2—x)√1—x⑸ʃILsinLdx;—1X3 X2⑹ʃ" 1 dx;0√ta∏x解(1)ʃ1-dx0v1一X2=1J1d(1-x2)( ,q~~7、-J1. =(一%1一x2)201：1-X2O=1。(2)ʃ1e——dx1x1-1一l∏2xJ1 “ 、 .八、Jeι-d(l∏X)=arcsi∏(l∏X)1√1-1∏2x兀e12(3)令,,E=t，则xJ2―. dx1xx—12J1(1+12)dt=083(4)令,,E=t，则ʃ101 dx(2一X)%1一X=2J1上01+t2兀2(5)ʃWJ011——si∏——dx+1一1X3X2一1x3 x2ʃ1Xsi∏Xdx。0x3 x2J1Asi∏Xdx二一1ʃ1si∏0x3 x2 201x2,11 1()=2(cos/)10+，由于1im1(cos±)极限不存在，所以积分JILsinLX→0+2 X2 0X3 X2dx发散同理积分ʃ0±si∏±dx也发散。一1x3 x2(6)令工时=t,再利用上面习题3(9),得到ʃ:^^dx=2J+∞

0√ta∏x0dt兀币4=M.求极限lim业n→∞n解limlnn仔∞nn! 1yk =lim—2ln—=nn告∞nk_1 nK—1J1lnxdx=-1,0所以Iimnf∞nn!1ne.计算下列反常积分:(1)JFInCOSxdx;0(3)12XcotXdX;0(2)Jπxlnsinxdxo0(4)J1acsimd；0X(5)J1工0v1-X2dxo解⑴令X=π-t,再利用例，得到2J2lncosxdx=J；lnsintdt="lln200⑵令X=兀-t,由JπXlnsinxdx=Jππlnsintdt-J兀tlnsintdt,0 0 0得到1 . ,πf rπ π2JπxlnSinxdx——Jπlnsinxdx=πJ2lnsinxdx=-——ln2。0 20 0 2⑶JzxcotXdX=J2xdlnsinX0 0=(xlnsinx)π (∙π π2-J2lnsinxdx——ln2。0 02 2⑷令t=arcsinX,得至」f1arcsinX,J1 dx=0XrπJ2tcottdt=0π1ɔ—ln2o2⑸J0lnXdx=ʃ1lnxdarcsinX=(lnXarcsinX)

0YI-X2IarcsinX兀1-ʃ1 dX=一-ln2o0 0X 27.求下列反常积分的CaUChy主值:⑴(CPV)J+”-11xdX；-∞1+X2(3)(cpv)J2-L-dX。12XlnX⑵(CPV)L4Tbd;解⑴(CPV)J+”1±1-∞1+X2T1∙r L八 、rdx=lιm[arctanX+—ln(1+X2)]A→+∞ 2+A=兀。-A⑵(cpv)J4—二dX=lim[(ln∣x-2|)|

1X-2 η→0+4+2+η(ln∣X-2|)2曰]=ln2。⑶(CPV)ʃ2—-—dx=lim[(lnllnx∣)12XinX η→0+2+1+η(ln∣lnx∣)1-η]=0。8.说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。证设ʃbf(X)dχ是一个无界函数反常积分，X=b是f(X)的唯一奇点a(即f(X)在X=b的左领域无界)。令t=三，则b-Xʃbf(X)dχ=(b-a)J+”fb-b~ad,

a 1It√t2等式右端就是一个无穷区间的反常积分。9.⑴以J+”f(X)dχ为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加性;a⑵举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。解(1)保序性：设J+”f(X)dχ与J+”g(X)dχ收敛，且在a,+”)成立f(X)≥g(X),则aaJ+”f(X)dχ≥J+”g(χ)dχ;a a证明：由定积分的保序性，可知Jaf(χ)dχ≥JAg(χ)dχ，再令A→saa区间可加性：设/+æf(X)dx收敛，则对任意CR[α,+∞),∫÷∞f(x)dx收敛，且ac/+æf(x)dx=∫cf(x)dx÷∫÷∞f(x)dx；a a c证明：由定积分的区间可加性，可知∫af(x)dx=∫Cf(x)dx÷∫Af(x)dx,再a a c令A—++∞O(2)设f(x)=g(x)=雪，则∫÷∞f(x)dx与∫÷∞g(x)dx收敛，但JX 1 1∫÷∞f(X)g(X)dx不收敛。1.证明当a>0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有证∫÷∞ffX÷a]lnx0IaxJx∫÷∞0/Xa)f-÷-IaxJlnx, dx=x÷f÷∞/xa∖1lnajf—÷—-dx。0 IaxJxdx-lna∫÷∞f0fxa)

-÷-

laxJd-dx=∫÷∞f

x0fxa)lnx-lna-÷ IaxJxdx∫affX÷a)lnXTna0Ia xJ x, xa)lnx-lnadx÷J÷∞f-÷ aIaXJX，dx对上式右端两积分中任意一个(例如第二个)作变量代换X=竺，则t当 时 •日x.atalnx-lna1lnt-lna1当x∙a→÷∞ ，t:a→0•且—÷-=-÷.， dx= dt，axatx t于是由∫÷∞ffx÷a)lnXTna

a IaXJXdx=-∫affta)

-÷-

latJlnt-lnadt，0t得到∫+∞0/xa)lnx

f-÷ IaxJxdx-lna∫÷∞f

0二÷二d-dx=∫a0fxa)lnx-lna

f-÷ dx-∫a0fta)fVa+1Jlnt-lna dt=tVaxJxfxaVaxJx0。.设J+∞f(X)dχ收敛,且1加f(x)=Ao证明A=0o

a x→+∞证用反证法。不妨设A〉0，则对ɛ=1A>0,≡X〉a，VX›X：

21 ΛIf(x)—A∣<1A，从而f(X)>1Ao由

2 2JBf(X)dx=ʃxf(X)dx+ʃbf(x)dx>ʃxf(x)dx+—A(B-X)，

a a X a 2可知limʃ