二元一次方程组及其应用

第7讲二元一次方程组及其应用(学P18)第一篇数与代数第二章方程与不等式1．二元一次方程(组)和二元一次方程(组)的解(1)含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．将两个或两个以上的方程合在一起，就构成了一个方程组．总共含有

，且未知数的次数都是

，这样的方程组叫做二元一次方程组．二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)．两个未知数一次(2)适合一个二元一次方程的每一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．任何一个二元一次方程都有无数组解．二元一次方程组的两个方程的

，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是

，有

与

．即把多元方程通过

、

、换元等方法转化为一元方程来解．另外还有图象法．公共解消元加减消元法代入消元法加减代入3．列二元一次方程组解应用题的一般步骤；(1)审，审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设，设未知数，设含有两个未知量为x、y，并注意单位；(3)列，根据题意寻找等量关系列二元一次方程组；(4)解，解方程组；(5)验，检验方程组的解是否符合题意；(6)答，写出答案(包括单位)．1．化归思想，解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即化“二元”为“一元”，这种方法体现了数学研究中的化归思想，具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，本部分的二元一次方程组问题一般通过“消元”转化为一元一次方程问题解决．2．两个方法①代入消元法；②加减消元法．1．(2013·凉山州)已知方程组，则x＋y的值为()

A．－1B．0C．2D．32．(2013·广安)如果a3xby与－a2ybx＋1是同类项，则()

A.B.C.D.Dx＋3y＝52x＋y＝5Dy＝3x＝－2.y＝－3x＝－2y＝－3x＝2y＝3x＝23．(2014·杭州)设实数x，y满足方程组则x＋y＝

.

4．(2013·广州)已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是()

A.B.C.D.x＋y＝2，x-y＝4，8Cx＋y＝10x＝3y＋2y＝3x－2x＋y＝10y＝3x＋2x＋y＝10x＋y＝10x＝3y－25．(2013·毕节)二元一次方程组

的解是

.3x－2y＝11x＋2y＝1，y＝－1x＝3【问题】对于二元一次方程2x＋y＝10.(1)求其正整数解；(2)若x＋y＝7，求x，y的值；(3)对于(1)、(2)中的x，y的值求法，你有何体会？.(3)对于(1)只要把方程变形为用一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后利用正整数解这个条件来求；对于(2)是解方程组，其基本思想是“消元”，体现了数学的化归思想．消元的方法根据方程组的结构特点，选择代入消元法或加减消元法．y＝8x＝1,y＝6x＝2,y＝4x＝3,x＝4,y＝2y＝4x＝3,【解析】(1)

(2)【归纳】会解二元一次方程整数解类问题；会选择并运用代入、加减消元法解二元一次方程组．(学P19)类型一二元一次方程(组)的有关概念例1(2013·台州)已知关于x，y的方程组

的解为求m，n的值．【思路分析】由于

是方程组

的解，根据方程组解的意义，将它代回原方程组，得到一个关于m，n的方程组，解这个新方程组即可．2mx－3ny＝4mx＋ny＝7y＝2x＝12mx－3ny＝4mx＋ny＝7,y＝2x＝1,【答案】由题意知：将

代入方程组

中，得

解这个新方程组，得

【解后感悟】本题主要是二元一次方程组的解的概念，二元一次方程组的解法，能够将方程组的解代回到原方程组中，并且会用代入法或加减法解方程组．注意“消元法”的运用．2mx－3ny＝4mx＋ny＝7y＝2x＝1m＋2n＝7n＝1m＝52m－6n＝41．(2013·安顺)如果4xa＋2b－5－2y3a－b－3＝8是二元一次方程，那么a－b＝

．类型二二元一次方程组的解法例2解方程组：(1)(2013·遵义)

(2)(2013·黄冈)

02x＋y－3＝0②；x－2y＝4①，3(x＋y)－2(2x－y)＝3.，【思路分析】(1)由第一个方程得到x＝2y＋4，然后利用代入消元法求解即可．(2)把方程组整理成一般形式

然后利用代入或加减消元法求即可．【答案】(1)

由①得，x＝2y＋4③，③代入②得2(2y＋4)＋y－3＝0，解得y＝－1，把y＝－1代入③得，x＝2×(－1)＋4＝2，所以，方程组的解是

－x＋5y＝3②，5x－11y＝－1①，2x＋y－3＝0②，x－2y＝4①，y＝－1.x＝2，(2)方程组可化为

由②得，x＝5y－3③，③代入①得，5(5y－3)－11y＝－1，解得y＝1，把y＝1代入③得，x＝5－3＝2，所以，原方程组的解是

【解后感悟】本题是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．根据同类项的“两同”列出方程组是解题的关键．－x＋5y＝3②，5x－11y＝－1①，y＝1.x＝2，2．解方程组：(1)(2013·邵阳)

2x－3y＝6②.x＋3y＝12①，y＝2x＝6【答案】【答案】(2)1－6x＝＝.类型三二元一次方程组的综合问题例3若关于x，y的二元一次方程组

的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值是(

)

A．－

B.

C.

D．－

【思路分析】解方程组，根据方程解的定义，将该解代入方程2x＋3y＝6即可．【答案】解方程组

得

根据方程解的定义，将该解代入方程2x＋3y＝6，得14k－6k＝6，8k＝6，k＝

.故选B.x＋y＝5k，x－y＝9kx－y＝9k，x＋y＝5k，y＝－2k，x＝7k，【解后感悟】先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k的一元一次方程．例4已知方程组

与

的解相同，求a，b的值．【思路分析】选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程，组成方程组，解方程组即可．2x－3y＝3，ax＋by＝－12ax＋3by＝33x＋2y＝11，【答案】由题意得

解之得

把

代入

得

整理得

解得

【解后感悟】几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程(或方程组)即可．3x＋2y＝11，2x－3y＝3，y＝1.x＝3，b＝5.a＝－2，2a＋b＝1，3a＋b＝－1，2ax＋3by＝3，ax＋by＝－1，6a＋3b＝3，3a＋b＝－1，y＝1.x＝3，3．已知方程组的解x，y的和为12，求n的值；【答案】解法一：解方程组得又∵x＋y＝12，∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14.解法二：已知方程组②－①，得x＋2y＝2，∵x＋y＝12，∴3x＋5y＝n+22x＋3y＝n，3x＋5y＝n＋2，②2x＋3y＝n，①y＝－n＋4.x＝2n－6，3x＋5y＝n＋2，②2x＋3y＝n，①y＝－10，x＝22，把

代入①，得n＝2×22＋3×(－10)＝44－30＝14.4．当m取什么值时，方程x＋2y＝2，2x＋y＝7，

mx－y＝0有公共解．【答案】m＝－

.y＝－10，x＝22，类型四二元一次方程组的应用例5(2013·嘉兴)某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．(1)问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3?(2)政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？【思路分析】(1)设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，根据储水量＋降水量＝总用水量，建立方程求出其解就可以了；(2)设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，同样由储水量＋25年降水量＝25年20万人的用水量为等量关系，建立方程求出其解即可．【答案】(1)设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，根据题意，得12000＋20x＝16×20y，x＝200，答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．12000＋15x＝20×15y，解得y＝50，(2)设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，由题意，得12000＋25×200＝20×25z，解得：z＝34，则50－34＝16(立方米)．答：该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标．【解后感悟】本题是二元一次方程组、一元一次方程解决实际问题的运用，解答时根据储水量＋降水量＝总用水量建立方程是关键．5．(2014·温州)八(1)班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：(学P20)参赛同学答对题数答错题数未答题数A1901B1721C1523D1712E//7(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；(2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．【答案】(1)82.5分．(2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得

5x－2y＝58

x＝12

，解得.答：E同学答对12题，答错1题．②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．

x＋y＝13y＝1【开放探究题】【试题】三个同学对问题“若方程组的解是求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．a2x＋b2y＝c2a1x＋b1y＝c1，y＝4.3a2x＋2b2y＝5c23a1x＋2b1y＝5c1，x＝3，【分析与解】把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决．两边同时除以5得，

和方程组的形式一样，所以

解得3a2x＋2b2y＝5c2

3a1x＋2b1y＝5c1，a2x＋b2y＝c2a1x＋b1y＝c1，y＝10.x＝5，y＝4，x＝3，【方法与对策】本题是一道材料分析题，需要通过观察、比较等式结构，获取信息，类比、逻辑推理，同时利用整体思想来解决．该题型是中考命题的一种形式．二元一次方程的解，二元一次方程组的解理解不清．

2x－3y＝－5而言(

)A．是这个方程的唯一解B．是这个方程的一个解C．不是这个方程的解D．以上结论都不对x－2y＋1＝03x－7y＝0，【问题】方程组的解对方程【分析】错误答案是A.理由：

由②