专题提升以等腰或直角三角形为背景的计算与证明

专题提升(十)以等腰或直角三角形为背景的计算与证明类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明【教材原型】

把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗？请画示意图说明剪法.(浙教版八上P64作业题第6题)

解：如答图，作∠ABC的平分线，交AC于点 D.

在BA上截取BE＝BD，连结ED，则沿虚线BD， DE剪两刀，分成的三个三角形都是等腰三角形．教材原型答图【思想方法】等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边的计算．【中考变形】1．如图Z10－1，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC＝_______.图Z10－145°【解析】

∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°.又∵AB＝AC，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∵BE⊥AC，F为BC中点，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF＋∠CBE＝22.5°＋22.5°＝45°.2．[2015·河北]如图Z10－2，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3； …

这样画下去，直到得第n条线段，

之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝______.图Z10－29【解析】由题意可知，AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，当n＝9时，底角为81°，当n＝10时，底角为90°，不能构成三角形，故答案为9.3．[2016·菏泽]如图Z10－3，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE. (1)如图①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，

①求证：AD＝BE，

②求∠AEB的度数；解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.图Z10－3在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°；∵∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠N＝90°，∠BEN＝60°，【中考预测】

如图Z10－4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠ABC的平分线，E是BC上一点，且BD＝BE.求∠DEC的度数．图Z10－4类型之二以直角三角形为背景的计算与证明【教材原型】

已知：如图Z10－5，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC.求证：BE⊥AC.(浙教版八上P82作业题第5题)图Z10－5证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，又∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC.【思想方法】

直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用．【中考变形】1．[金华中考]如图Z10－6，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是 (

) A．70°B．65°C．60°D．55°图Z10－6B【解析】

∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，由旋转的性质，得∠B＝∠A′B′C＝65°.2．[2016·济宁]如图Z10－7，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，

请你添加一个适当条件______________________，

使△AEH≌△CEB. 【解析】该题为开放型题，根据垂直关系，可

以找出△AEH与△CEB的两对相等的对应角，只

需要找它们的一对对应边相等就可以了．图Z10－7AE＝CE(答案不唯一)∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△ABD中，∠EAH＝90°－∠B，∴∠B＝∠AHE.∴根据AAS添加AH＝CB或AE＝CE；根据ASA添加EH＝EB，可证△AEH≌△CEB.故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(答案不唯一，合理即可)．3．如图Z10－8，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC

＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，

且BE＝BD，连结AE，DE，DC. (1)求证：△ABE≌△CBD； (2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，

∴∠ABE＝∠CBD.图Z10－8∴△ABE≌△CBD(SAS)；(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°.∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠CAE，∴∠BEA＝45°＋30°＝75°.由(1)知∠BDC＝∠BEA，∴∠BDC＝75°.4．[2016·苏州二模]如图Z10－9，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上的一点． (1)求证：△ACE≌△BCD； (2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．图Z10－9解：(1)证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°－∠ACD，∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°，在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12，∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.5．[重庆中考]如图Z10－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证： (1)AF＝CG； (2)CF＝2DE.图Z10－10证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝CB，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；中考变形5答图(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(ASA)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.【中考预测】

一节数学课后，老师布置了一道课后练习：

如图Z10－11，已知在Rt△ABC中，AB＝ BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O.点P， D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC

于点E.求证：△BPO≌△PDE. (1)理清思路，完成解答：本题证明的思路

可以用下列框图表示：图Z10－11根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；(2)特殊位置，证明结论：若BP平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP＝CD；(3)知识迁移，探索新知：若P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系(不必写解答过程)．解：(1)证明：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠2.∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠C＝45°.∵BO⊥A