直角坐标下二重积分的计算

利用直角坐标

计算二重积分DoubleintegralsinrectangularcoordinatesTheTypeIRegionDabxxyOX型区域X型区域TheTypeIIRegionDcdyxyOY型区域X型&Y型X型，非Y型非X型，非Y型划分为若干X型区域(1)X型区域上的二重积分X型区域求二重积分回忆：求立体体积的“切片法”已知：平行截面的面积则立体的体积为：x

视为常数二次积分累次积分Iteratedintegral积分次序：视为常数先y

后x

第一次积分中，将x视为常数，对y

积分（偏积分）(2)Y型区域上的二重积分Y型区域求二重积分y

视为常数二次积分积分次序：先x

后y视为常数积分次序：先x

后y

第一次积分中，将y视为常数，对x

积分（偏积分）矩形区域abcdD先y后x先x后y(3)矩形区域上的二重积分Fubini’sTheoremFubini’sTheorem特别地，如果abcdD即分别计算两个定积分，再相乘（3）定限：确定两次定积分的上限和下限，将二重积分化为二次积分；计算二重积分的步骤（1）作图：作出积分区域D

的图形；（2）确定积分次序：根据D

的类型，选择方便、可行的积分次序：X型：先y

后xY型：先x

后yX型&Y型：选择方便、可行的次序（4）计算：计算二次积分。ExampleFind解利用公式42DO1第一次积分中，将x

视为常数，对y

积分另解解42DO1第一次积分中，将y视为常数，对x

积分视D为Y型区域：先x

后y解X型区域另解Y型区域将D视为Y型区域：例计算解作图交点：(1,1)quxian:=implicitplot(y=1/x,x=0.1..2.22,y=0..2.2,thickness=3,scaling=constrained):x_axis:=implicitplot(y=0,x=-0.4..2.55,y=-0.1..0.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black):

y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1..0.1,y=-0.1..2.2,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);(1/2,2)(2,2)比较麻烦按X型区域定限按Y型区域定限此题按Y型区域定限较简单例计算解

quxian:=implicitplot(y^2=2*x+6,x=-4..6,y=-5..5,thickness=3,scaling=constrained):x_axis:=implicitplot(y=0,x=-4..6,y=-0.1..0.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black):y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1..0.1,y=-5..5,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);作图求交点：

quxian:=implicitplot(y^2=2*x+6,x=-4..6,y=-5..5,thickness=3,scaling=constrained):x_axis:=implicitplot(y=0,x=-4..6,y=-0.1..0.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black):y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1..0.1,y=-5..5,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);宜按Y型区域定限改变积分次序将已知二次积分的积分次序改变成另一积分次序Reversingtheorderofintegration改变积分次序的步骤根据所给的二次积分上、下限画出积分区域D的图形；2.

将D视为另一类型的区域，重新定限解X型区域Y型区域根据所给的二次积分上下限画出积分区域D的图形将D视为另一类型的区域重新定限改变积分次序：Y型区域X型区域原积分合并计算二次积分解若先积分则“积不出”原函数不是初等函数常见的“积不出”的积分：在二重积分中不要先去碰这些积分怎么办？改变积分次序，避开这个“积不出”的积分X型Y型这下好办了！视为常数！例圆环区域用直角坐标定限十分复杂利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分回忆：二重积分有类似的结论若D关于y

轴(x=0)对称当f(x,y)关于x为奇函数当f(x,y)关于x为偶函数f(x,y)关于x为奇函数：f(x,y)关于x为偶函数：则若D关于x

轴(y=0)对称当f(x,y)关于y为奇函数当f(x,y)关于y为偶函数f(x,y)关于y为奇函数：f(x,y)关于y为偶函数：则若D关于x

轴和y轴都对称且f(x,y)关于x

和y均为偶函数则若D关于直线y=x

对称且