推断统计和统计检验

（优选）推断统计和统计检验当前第1页\共有37页\编于星期五\0点当前第2页\共有37页\编于星期五\0点4、正态曲线的形态变化正态曲线的形态随平均数（决定位置）和标准差（决定形状的高矮胖瘦）的不同而不同。

6080σ

1<σ2,X1<X2当前第3页\共有37页\编于星期五\0点5、标准正态面积M=0(X=0),σ=1(S=1),Y0=1/√2π=0.39890当前第4页\共有37页\编于星期五\0点（二）正态曲线的面积在正态曲线图上，纵线Y表示对应于X的次数，曲线下的全面积（为1个单位）代表次数的总和。《正态分布面积与横轴关系对照表》是以为计算面积的单位经数学计算得出来的。根据此表，可以求出横轴上某点与平均数之间所包含面积的比例。计算过程：（1）计算x=X-σ,（2）计算x/σ,（3）查表，即得出点X与平均数σ之间所包含的曲线面积在全部面积中所占的比例。σ当前第5页\共有37页\编于星期五\0点正态分布面积与横轴关系对照表X/σ.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09000.1

…0.5…1.0…1.92.0…2.53.0…3.1…3.4

000003981915341347724986.54990.34996.6310040043800800478012005170160019002394750027903194951

0359当前第6页\共有37页\编于星期五\0点在正态分布曲线下以σ为距离单位所包含的面积

σ面积+0.5σ之间+1σ之间+1.5σ之间+2σ之间+2.5σ之间+3σ之间

38.30%

68.26%86.24%

95.44%98.76%

99.74%当前第7页\共有37页\编于星期五\0点（三）正态分布在教育研究中的应用1、按照正态分布进行能力分组或评定成绩的等级（即等级分组）2、在正态分布的情况下，求各种分数之间的百分比和人数（即分数分布）当前第8页\共有37页\编于星期五\0点二、数据的统计检验当需要判断两个样本的统计值之间的差异是来自相同总体（随机误差、抽样误差）还是来自不同总体（系统误差、实质差异）时，即差异是否存在于两个总体之间时，需要对样本的差异显著性进行检验，即进行统计检验，也称假设检验或差异显著性检验，是推断统计中最重要内容。差异显著性水平α：统计上给出的允许判断失误的小概率p，常取0.05或0.01基本思想：反证法当前第9页\共有37页\编于星期五\0点一、差异程度检验的基本原理：１、建立虚无假设Ｈ０：µ１＝µ２２、统计运算３、选定显著性水平α，根据运算结果，确定Ｈ０成立的概率P,并得出结论：小概率P≤0.01,否定H0，差异非常显著事件P≤0.05,否定H0，差异显著

P>0.05,肯定H0，差异不显著当前第10页\共有37页\编于星期五\0点二、大样本平均数差异程度的检验——Z检验（样本容量大于30）步骤：1、建立虚无假设H0:X1=X22、规定差异显著性水平α：0.01或0.053、计算Z值，公式为：4、比较Z值与理论Z值，推断H0发生的概率，并做出判断。Z=X1-X2S1S222n1n2√+当前第11页\共有37页\编于星期五\0点

Z值、P值与差异显著性的关系

|Z|

P差异显著性

<1.96

>0.05差异不显著≥1.96≤0.05差异显著≥2.58≤0.01差异非常显著当前第12页\共有37页\编于星期五\0点举例：某项教育实验中，，实验组50人，控制组48人。实验组前测的平均分为76分，标准差为14分。控制组前测的平均分为78分，标准差为16分。实验组后测的平均分为85分，标准差为8分，控制组后测的平均分为80分，标准差为14分。试比较两组前测、后测是否存在差异。解：前测：Z=∵Z=0.658≺1.96∴前测两组差异不显著后测：Z=∵Z=2.16≻1.96∴后测两组差异显著76-78√14250+16248=-0.65885-80√8250+14248=2.16当前第13页\共有37页\编于星期五\0点三、小样本平均值差异程度的检验——t检验（样本容量小于30）t检验是利用两个平均值之差的t值与规定的理论t值相比较，看是否大于规定的理论t值，从而判断两组小样本的平均值的差异显著程度的一种统计检验方法。有三种类型的t检验当前第14页\共有37页\编于星期五\0点t检验的步骤第一步，建立虚无建设，即先认为两个平均数之间无显著差异；第二步，规定差异显著性水平（0.01或0.05）；第三步，计算两个平均数之差的t值，对不同类型问题，要采用不同的t值计算公式；第四步，根据自由度df,查t值表，找出规定的理论t值；第五步，比较计算所得的t值与理论t值，推断H0发生的概率，依据t值与差异显著性关系表作出推断。当前第15页\共有37页\编于星期五\0点自由度，是指能独立变化的数据的数目，它是根据研究的问题所受限制的数目多少而有所不同的。对小样本平均数差异检验，df=n-1对于不同自由度df和显著性水平的理论t值，记为t(df)0.01和t(df)0.05。当前第16页\共有37页\编于星期五\0点简化t值表差异等级α自由度df0.050.01αdf0.050.01αdf0.050.011234567891012.7064.3033.1822.7762.5712.4472.3652.3062.2622.22863.6579.9255.8414.6044.0323.7073.4993.3553.2503.169111213141516171819202.2012.1792.1602.1452.1312.1202.1102.1012.0932.0863.1063.0553.0122.9772.9472.9212.8982.8782.8612.845212223242526272829302.0802.0742.0692.0642.0602.0562.0522.0482.0452.0422.8312.8192.8072.7972.7872.7792.7712.7632.7562.750当前第17页\共有37页\编于星期五\0点t值、P值与差异显著性的关系|t|P差异显著性<t(df)0.05≥t(df)0.05≥t(df)0.01P>0.05P≤0.05P≤0.01差异不显著差异显著差异非常显著当前第18页\共有37页\编于星期五\0点（一）检验样本平均数X和总体平均数μ0之间的差异程度已知总体N的平均值为μ0，标准差为σ，样本n的平均数为X，标准差为S。t值的计算公式：t=X-μ0σ/√n当前第19页\共有37页\编于星期五\0点举例：在某校初二年级中抽出一组共20人，利用幻灯进行语文教学实验。期终全级进行统考，得全级语文考试平均分为70分，标准差为15分，而参加实验的20人的得分如表所示。试检验该实验的效果。X7566848092747088909565837277696481777379当前第20页\共有37页\编于星期五\0点解：第一步，建立虚无假设H0:X=μ0第二步，确定差异显著性水平为α=0.05第三步，计算样本平均数

X=(∑Xi)/n=1554/20=77.7第四步，计算t值根据自由度df=n-1=20-1=19,查t值表，得理论t值为t(df)0.05=t(19)0.05=2.093所以t=2.296>t(19)0.05，由此，拒绝H0,即X和μ0之间差异显著，也就是说X>μ0,表示实验组的平均数显著高于总体的平均数。X-μ0σ/√n77.7-7015/√20t===2.296当前第21页\共有37页\编于星期五\0点（二）两组样本平均数X1与X2的差异程度检验t值的计算公式：

t=举例：某项研究采用等组实验，实验后从实验组中抽取10人、从控制组中抽取9人进行差异程度分析，这两组样本的得分数据如下表所示。X1-X2√∑x1+∑x222n1+n2-2×√n1+n2n1n2组别样本得分数据平均数实验组1095678072748877929085X1=82控制组9655579768480607862/X2=71当前第22页\共有37页\编于星期五\0点解：第一步，建立虚无假设H0：X1=X2第二步，确定差异显著性水平为α=0.05第三步，计算两组样本的平均数

X1=…=82X2=…=71第四步，计算t值。必须先分别计算各样本的数据与平均数之间的离差，如下表所示。实验组X1=82,x1=X1-X1,则∑x1=796X195678072748877929085x113-15-2-10-86-51083x1169225410064362510064922当前第23页\共有37页\编于星期五\0点控制组X2=71,x2=X2-X2,则∑x2=882根据公式，t==2.41第五步，根据自由度df=n1+n2-2=17查t值表，得理论t值为t(df)0.05=t(17)0.05=2.11所以t=2.41>t(17)0.05,则拒绝H0,即X1与X2之间存在显著差异，也就是说，实验组的平均水平显著高于控制组的平均水平。2X2655579768480607862x2-6-1685139-117-9x236256642516981121498182-71√796+88210+9-2×√10+910×92当前第24页\共有37页\编于星期五\0点（三）对同一组样本，在不同情况下测试结果的平均数X1和X2的差异程度检验t值计算公式为：

t=式中D=X2-X1,即两次测试中每对分数之差。举例：在某班中进行前测、后测实验，随机抽出8名学生作样本，其两次测试的数据如下表所示。分析两次测试是否有差异，从而判断实验的效果。X2-X1√∑D-(∑D)/nn(n-1)22当前第25页\共有37页\编于星期五\0点解：第一步，建立虚无假设H0:X1=X2第二步，确定差异显著性水平为α=0.05第三步，计算两次测试数据的平均数第四步，计算t值.先计算D与D，如表中所示t=…=学生编号

12345678前测数据1114121013121514X=12.625后测数据1514151415131416X=14.5两次之差D

403421-14∑D=15D16091641116∑D=51222√51-(15)/88×(8-1)=2.9342当前第26页\共有37页\编于星期五\0点第五步，根据自由度df=n-1=8-1=7,查t值表，得理论t值t(df)0.05=t(7)0.05=2.365所以t=2.934>t(7)0.05,所以拒绝H0,即前后两次测试结果的平均值有显著差异。当前第27页\共有37页\编于星期五\0点五、计数资料的检验——卡方(χ)检验计数资料，就是按品质分类，然后按类别计数的资料。χ检验是对实际观测所获得的分类计数资料与依据某种假设所期望的理论次数之间是否相符合的问题，即对两者差异的显著性进行检验。22当前第28页\共有37页\编于星期五\0点χ检验的步骤1、建立虚无假设H0:观测的结果与期望结果无差异2、确定差异显著性水平α=0.05或0.013、计算理论次数和实测次数的χ值。χ

值的计算公式为χ=∑4、按自由度df查χ值表，得理论χ

值：χ(df)α5、把计算所得的χ

与χ(df)α进行比较，判断结果22(f0-fe)2fe2222222当前第29页\共有37页\编于星期五\0点简化χ

值表2

检验等级α0.050.01123456789103.8415.9957.8159.48811.07012.59214.06215.50716.91918.3076.6359.21011.34512.27715.06716.81218.47520.09021.66623.209自由度df当前第30页\共有37页\编于星期五\0点χ

值与P值及差异显著性的关系2χP差异显著性χ≥χ(df)αP≤0.01差异非常显著χ≥χ(df)αP≤0.05差异显著χ<χ(df)αP>0.05差异不显著2222222当前第31页\共有37页\编于星期五\0点（一）单组样本态度差异性的检验态度计数资料同意不同意不置可否自由度观测次数f0N1N2N3df=n-1=3-1=2理论次数fefe=N/3N=N1+N2+N3对于这类问题，由于虚无假设认为三项之间应无差异，所以理论次数fe=N/3.当前第32页\共有37页\编于星期五\0点举例：某项关于物理实验系列教材的研究问卷中，其中征求44位物理教师的意见所得到的结果如下表所示。问各类意见之间是否差异显著。解：1、建立虚无假设H0:各类意见之间无显著差异2、对a问题选择0.01差异显著性水平，对b问题选择0.05差异显著性水平很同意同意不同意很不同意a本片对学生复习有很大作用231362b本片能帮助提高课堂教学效率1414106当前第33页\共有37页\编于星期五\0点3、计算χ值。对这项研究，其理论次数fe=N/4=44/4=11对于a问题，

χ

=…=12/11+2/11+(-5)/11+(-9)/11=23.09对于b问题，χ=…=3/11+3/11+(-1)/11+(-5)/11=4.004、根据自由度df=n-1=4-1=3,查χ值表，得χ(df)0.05=χ(3)0.05=7.815χ(df)0.01=χ(3)0.01=11.3452222222222222222当前第34页\共有37页\编于星期五\0点5、比较χ和χ(df)0.05与χ(df)0.01，做出判断对于a问题，χ=23.09>χ(df)0.01，则拒绝H0,说明