直线与直线平行

8.5.1

直线与直线平行课标阐释思维脉络1.理解并掌握基本事实4,并会应用其解决相关直线与直线平行问题.(数学抽象、逻辑推理)2.理解等角定理,并会应用其解决有关问题.(逻辑推理、数学运算)激趣诱思知识点拨如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗?激趣诱思知识点拨知识点一、直线与直线平行

文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c作用证明或判断两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性激趣诱思知识点拨微练习已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A'C'的位置关系是

.

解析:如图所示,∵M,N分别为CD,AD的中点,MNAC,由正方体的性质可得ACA'C',∴MNA'C',即MN与A'C'平行.答案:平行激趣诱思知识点拨知识点二、等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.名师点析

(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同(或相反),那么这两个角相等;(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且一边的方向相同,另一边的方向相反,那么这两个角互补.激趣诱思知识点拨微思考

如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠D'C'B'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?提示:∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°.探究一探究二素养形成当堂检测平行线传递性的应用例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形.分析取B1C1的中点G,证明四边形GEDD1,FB1GD1都是平行四边形,从而得到四边形B1EDF是平行四边形,再证明B1E=B1F即可.探究一探究二素养形成当堂检测证明:取B1C1的中点G,连接GD1,GE,则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四边形FB1GD1是平行四边形,∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,∴四边形B1EDF是平行四边形,∴B1E=B1F,∴四边形B1EDF是菱形.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

空间两条直线平行的证明判断两条直线平行,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4,即平行线的传递性,也是判断两直线平行的重要依据.解题时要注意中位线的作用.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c(

)A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析:若b∥c,由a∥b,知a∥c,这与a,c异面相矛盾,则b与c不可能平行,故选C.答案:C探究一探究二素养形成当堂检测等角定理的应用例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:∠B1M1C1=∠BMC.分析(1)通过基本事实4证明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1∥BM,同理证得C1M1∥CM,再由等角定理证得∠BMC=∠B1M1C1.也可以通过证明△BCM≌△B1C1M1证出∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二素养形成当堂检测证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1AA1.又AA1BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二素养形成当堂检测(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,∴∠B1M1C1=∠BMC.反思感悟

证明角相等的常用方法证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2如图,已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分别为线段AB,AC,AD上的点,EF∥BC,FG∥CD.求证:△EFG∽△BCD.探究一探究二素养形成当堂检测等角定理的应用典例若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是(

)A.OB∥O1B1,且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:当∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1时,OA与O1A1的方向相同,OB与O1B1不一定平行,如图所示,故选D.答案:D方法点睛在讨论空间中两条直线平行的位置关系时,除了运用等角定理外,也可以利用数形结合思想帮助求解.探究一探究二素养形成当堂检测1.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB与∠A1O1B1(

)A.相等 B.互补C.相等或互补 D.以上均不对解析:由题意,两角对应边平行,如果方向均相同或相反,那么两角相等,如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么两角互补.答案:C探究一探究二素养形成当堂检测2.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是

(

)A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析:∵E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.答案:A探究一探究二素养形成当堂检测3.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,则∠A'O'B'为(

)A.130° B.50°C.130°或50° D.不能确定解析:根据定理,∠A'O'B'与∠AOB相等或互补,即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.答案:C探究一探究二素养形成当堂检测4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点.