正弦定理 省赛获奖

第2课时正弦定理课标阐释思维脉络1.掌握正弦定理及其变形.(数学抽象)2.了解正弦定理的证明方法.(逻辑推理)3.掌握三角形正弦面积公式及其应用.(数学运算)4.能应用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.(逻辑推理、数学运算)激趣诱思知识点拨从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,都离不开对几何图形的测量、设计和计算.测量河流两岸码头之间的距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等问题,都可以转化为求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系,通常我们是通过正弦定理与余弦定理来研究三角形中的边角关系的,这一节我们来学习——正弦定理.激趣诱思知识点拨知识点一、正弦定理

1.名师点析

正弦定理解三角形的常见类型(1)已知三角形的两边及一边所对的角,求剩余的边和角.(2)已知两角和任一边,求另外两边和一角.激趣诱思知识点拨答案:(1)4

(2)45°激趣诱思知识点拨

答案:45°或135°激趣诱思知识点拨知识点三、三角形的面积公式

名师点析

三角形面积公式的其他形式

激趣诱思知识点拨微练习(1)在△ABC中,若AB=3,BC=4,B=120°,则△ABC的面积等于

.

(2)在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=

.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知两角和一边解三角形例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.分析由三角形的内角和定理可求A的度数.根据正弦定理可求a,c.解:因为B=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.反思感悟

已知两角及一边解三角形的解题方法(1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测已知两边和其中一边的对角解三角形例2在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形.分析先利用正弦定理求角B,再根据三角形的内角和定理求角C,最后利用正弦定理求边c.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值.(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角.(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测判断三角形的形状例3在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判断△ABC的形状.分析探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(方法一)∵(a-ccos

B)sin

B=(b-ccos

A)sin

A,∴由正弦定理、余弦定理,得整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形.(方法二)根据正弦定理,原等式可化为(sin

A-sin

Ccos

B)sin

B=(sin

B-sin

Ccos

A)sin

A,即sin

Ccos

Bsin

B=sin

Ccos

Asin

A.∵sin

C≠0,∴sin

Bcos

B=sin

Acos

A.∴sin

2B=sin

2A.∴2B=2A或2B+2A=π,即A=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

三角形形状的判断方法判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acosB)sinB=(b-ccosC)sinA”,判断△ABC的形状.解:因为(a-acos

B)sin

B=(b-ccos

C)sin

A,所以asin

B-acos

Bsin

B=bsin

A-ccos

Csin

A,而由正弦定理可知asin

B=bsin

A,所以acos

Bsin

B=ccos

Csin

A,即sin

Acos

Bsin

B=sin

Ccos

Csin

A,所以cos

Bsin

B=sin

Ccos

C,即sin

2B=sin

2C,所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测三角形面积公式的应用例4计算下列各三角形的面积.(1)在△ABC中,a=5,c=3,B=150°;(2)在△ABC中,a=8,b=8,A=30°;(3)在△ABC中,a=2,b=3,c=4.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

三角形面积的求解思路求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64,则c=

;

(2)在△ABC中,已知C=120°,AB=2AC=2,则△ABC的面积等于

.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测对三角形解的个数的探究已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.因此“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”时,需要分析三角形解的情况,下面以已知a,b和角A解三角形为例进行说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得,在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.设A为锐角,若a≥b,则A≥B,从而B为锐角,有一解.若a<b,则A<B,由正弦定理得sin

B=:①sin

B>1,即a<bsin

A,无解;②sin

B=1,有一解;③sin

B<1,即bsin

A<a<b,有两解.事实上,判断三角形解的个数,就是根据“大边对大角”、三角形内角和定理、正弦函数的有界性等进行判断.探究一探究二探究三探究四素养形成