绝对值不等式绝对值三角不等式 省赛获奖

3.5绝对值不等式绝对值三角不等式[学习目标]1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题．[知识链接]1．代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？答案表示数轴上的点x到点－2与3的距离之和．2．定理2的几何解释是什么？答案在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.[预习导引]1．绝对值的几何意义如图(1)，|a|表示数轴上

到原点的距离．如图(2)，|a－b|的几何意义是

的距离．坐标为a的点A数轴上A，B两点之间2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

，当且仅当

时，等号成立．3．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当

时，等号成立.|a|＋|b|ab≥0(a－b)(b－c)≥0要点一绝对值三角不等式的简单应用例1

(1)“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的(

)A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件解析∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－a|＋|y－a|＜2m，又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必要条件．答案A(2)以下四个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；其中正确的命题有(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个(2)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；答案A规律方法|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值三角不等式的条件．跟踪演练1

已知函数f(x)、g(x)，设不等式|f(x)|＋|g(x)|＜a(a＞0)的解集为M，不等式|f(x)＋g(x)|＜a(a＞0)的解集是N，则集合M与N的关系是(

)A．N⊇M B．M＝NC．M⊆N D．M

N解析∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M，|f(x0)|＋|g(x0)|＜a，故|f(x0)＋g(x0)|＜a，所以x0∈N.C

要点二证明绝对值不等式＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|＜|x2－1|＋|x1－0|.规律方法对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法．跟踪演练2

设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.证明∵|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(0)|≤1，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7.例3

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．要点三绝对值三角不等式在生活中的应用(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；解设点P(x，y)，且y≥0.(1)点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离d，等于水平距离＋垂直距离，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小值．解点P到A，B，C三点的“L路径”长度之和的最小值d＝水平距离之和的最小值h＋垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响．当20≥y≥1时，v＝20－y＋2y＝20＋y≥21，当y＝1时取“＝”．∵x∈[－10,14]时，水平距离之和h＝|x－(－10)|＋|14－x|＋|x－3|≥|x＋10＋14－x|＋|x－3|≥24，且当x＝3时，h＝24.因此，当P(3,1)时，d＝21＋24＝45.当0≤y＜1时，v＝20－y＋(1－y)＋1＋y＝22－y＞21，水平距离之和h不变，所以d＞45.所以，当点P(x，y)满足P(3,1)时，点P到A，B，C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45.规律方法数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的两点间的距离为：d＝|x1－x2|或d＝|y1－y2|，如果已知两个变量x1，x2的大小关系，则不用加绝对值．跟踪演练3

两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处．现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次．要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？解设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为s(x)km，则s(x)＝2(|x－10|＋|x－20|)．因为|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥10，当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号．解得10≤x≤20.所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路之和最小．课堂小结1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的．2．求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值几何意义；(3)利用绝对值不等式性质定理．1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是(

)A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立B2．若两实数x，y满足xy＜0，那么总有(

)A．|x＋y|＜|x－y| B．|x＋y|＞|x－y|C．|x－y|＜|x|－|y| D．|x＋y|＜|y|－|x|解析当xy＜0时，|x＋y|＝||x|－|y||，|x－y|＝|x|＋|y|，因为|x|＋|y|＞||x|－|y||，所以|x＋y|＜|x－y|.A3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析∵|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋2|(y－2)＋1|≤|x－1|＋2|y－2|＋2，再由|x－1|≤1，|y－2|≤1可得|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，故|x－2