数项级数的收敛与发散

（优选）数项级数的收敛与发散当前第1页\共有31页\编于星期五\0点基本概念

第十一章无穷级数constantterminfiniteseries第一节数项级数的收敛与发散收敛级数的基本性质小结思考题作业当前第2页\共有31页\编于星期五\0点为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.

在自然科学和工程技术中,也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表）.级数来分析问题,数项级数的收敛与发散当前第3页\共有31页\编于星期五\0点1.级数的定义(常数项)无穷级数一般项如

以上均为(常)数项级数.(1)一、基本概念数项级数的收敛与发散当前第4页\共有31页\编于星期五\0点这样,级数(1)对应一个部分和数列:称无穷级数(1)的按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项和部分和.2.部分和数列数项级数的收敛与发散当前第5页\共有31页\编于星期五\0点例认为数项级数的收敛与发散当前第6页\共有31页\编于星期五\0点例2认为例3无极限认为没有和。数项级数的收敛与发散当前第7页\共有31页\编于星期五\0点部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.定义则称无穷级数并写成3.级数收敛与发散的定义数项级数的收敛与发散当前第8页\共有31页\编于星期五\0点特别,若则称级数发散到记作总之,常数项级数收敛(发散).(不存在)存在数项级数的收敛与发散当前第9页\共有31页\编于星期五\0点对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.(1)称差误差为数项级数的收敛与发散当前第10页\共有31页\编于星期五\0点注意：（1）任何一个级数都可以确定一个部分和数列（2）对任意数列都可作出一个级数因此研究级数的敛散性问题即为研究其部分和数列是否有极限的问题数项级数的收敛与发散当前第11页\共有31页\编于星期五\0点例1讨论级数的敛散性。解：前n项之和因为所以级数收敛，和为1数项级数的收敛与发散当前第12页\共有31页\编于星期五\0点例2而所以,的部分和

级数级数发散.数项级数的收敛与发散当前第13页\共有31页\编于星期五\0点解(重要)例3讨论等比级数(几何级数)的收敛性.数项级数的收敛与发散当前第14页\共有31页\编于星期五\0点

收敛

发散

发散

发散

综上级数变为数项级数的收敛与发散当前第15页\共有31页\编于星期五\0点讨论级数的敛散性.解例4因为为公比的等比级数,是以故级数收敛.发散.数项级数的收敛与发散当前第16页\共有31页\编于星期五\0点例5判定级数的敛散性.例6求级数的和.提示:利用数项级数的收敛与发散当前第17页\共有31页\编于星期五\0点定理1(柯西准则)级数收敛数项级数的收敛与发散当前第18页\共有31页\编于星期五\0点例7证明:(1)级数收敛.(2)级数发散(3)级数发散(3)提示:数项级数的收敛与发散当前第19页\共有31页\编于星期五\0点二、收敛级数的基本性质性质1若级数都收敛,且其和分别为则对任意的常数级数也收敛,且和为数项级数的收敛与发散当前第20页\共有31页\编于星期五\0点都发散.但收敛.例数项级数的收敛与发散当前第21页\共有31页\编于星期五\0点收敛级数的必要条件反之不然！性质2证因为则所以推论数项级数的收敛与发散当前第22页\共有31页\编于星期五\0点注①级数收敛的必要条件,③必要条件不充分.常用判别级数发散;如调和级数②也可用它求或验证极限为“0”的极限;级数收敛的必要条件:但级数是否收敛数项级数的收敛与发散当前第23页\共有31页\编于星期五\0点例判别下列级数的敛散性级数收敛的必要条件常用判别级数发散.解题思路数项级数的收敛与发散当前第24页\共有31页\编于星期五\0点解由于发散数项级数的收敛与发散当前第25页\共有31页\编于星期五\0点

解而级数所以这个等比级数发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,是以收敛.数项级数的收敛与发散当前第26页\共有31页\编于星期五\0点练习为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件:数项级数的收敛与发散当前第27页\共有31页\编于星期五\0点问否！数项级数的收敛与发散当前第28页\共有31页\编于星期五\0点性质3

添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质4设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.①一个级数加括号后所得新级数发散,则注原级数发散.事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛,则根据性质4,

收敛

发散②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.数项级数的收敛与发散当前第29页\共有31页\编于星期五\0点常数项级数的基本概念基本审敛法3.按基本性质则级数收敛由定义,2.则级数发散一般项、部分