数学重点难点易错点全总结空间向量

TOC\o"1-4"\h\z\u 空间向量的数量 要点五、用向量方法求空间距 空间向量的长度（模表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|AB|或|a单位向量：1的空间向量，即|a|共线向量或平行向量．a平行于b记作①当我们说向量a、b共线（ab）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是A1A2A2A3A3A4An1AnA1An即：A1A2A2A3A3A4 An1AnAnA10；定义：实数a的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当＞0aa方向相同；当＞0aa方向相反；当=0a=0．结合律：(μa)=(μ)a．0＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．a空间任意两个向量a、b（b0），ab的充要条件是存在实数a①a∥b（b≠0）存在唯一实数a②存在唯一实数ab（b≠0），则a∥b．注意:b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．如果两个向量a,bp与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y），使pxayb．MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB【学习目标】1.

即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．②②abab0③|a|2aa或|a aaa④cosa,b

|a||b⑤⑤|ab||a||babac不能得出bc，即向量不能约分．a、b、c，有(abca(bc根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b的夹角的余弦cosa,b 特别地，如果ab0a与b同向；如果aba与b反向；如果ab900a与b垂直，记作ab。a a表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。若a,b 2ab⇔a·b＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联

y、z，使p=xa+yb+zc．a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x、y、z∈R}a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可要点诠释向量不共面，就隐含着它们都不是0；{ijk}在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,jk}，以点Oi,jk的方向坐标系Oxyz，点Oijkzk ixai，j，ka=a1i+a2j+a3k，则有序在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向 ，OAxiy ①ABOBOA(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)(x2x1,y2y1,z2z1 (xx)2(xx)2(yy)2(zz a(a1a2a3b(b1b2b3，则 ①|a aa a2a2a2， ②cosab a (a0,b0)|a||b a2a2a2b2b2b ab|a||b|cosabcosab a|a||b|

AC,BDAC,DBCA,BDCA,DB①a//babx1x2，y1y2，z1z2(R)x1y1z1(xyz22②abab0x1x2y1y2z1z2

A、B是直线lAB为直线lAB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量。平面的法向量定义已知平面，直线l，取l的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向nal1l2的方向向量分别是abl1l2ab，即akb(kR)①设直线l的方向向量是a，平面u，则要证明l//，只需证明au，即au0。设直线l1，l2的方向向量分别为ab，则要证明l1l2，只需证明ab，即ab0①设直线l的方向向量是a，平面的向量是u，则要证明l，只需证明au则cos 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为a与u的角为，则有sin|cos

。|a||unn分别为面nnarccosn1

||n2则二面角的平面角AEBn1n2或n1n2，即二面角等于它的两个面的法向的夹角n1n2的大